13.1.2 线段的垂直平分线的性质（讲+练，四大题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（人教版）

13.1.2 线段的垂直平分线的性质 教学目标： 1.识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 2.掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。 3.通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。 重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。 难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。 知识点一 线段的垂直平分线 经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线. 注意：线段垂直平分线必须同时满足两个条件: (1)经过线段的中点;(2)垂直于这条线段. 即学即练 如图，，．求证：直线是线段的垂直平分线．    知识点二 线段的垂直平分线的性质及判定 性质 判定 图示 内容 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 书写格式 应用 证明线段相等 确定点在线段的垂直平分线上 知识点二 线段垂直平分线的尺规作图 已知:线段AB 求作:线段AB的垂直平分线 作法： (1) 分别以点 A，B 为圆心，以大于AB的长为半径作弧，两弧交于 C，D 两点； (2) 作直线CD.直线 CD就是线段 AB 的直平分线. 知识点三 轴对称和轴对称图形的性质 1.两个图形成轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称,那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 提示： 成轴对称的两个图形全等,但全等的两个图形不一定是轴对称图形 2.轴对称图形的性质 轴对称图形的对称轴,是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 注意： 成轴对称的两个图形的对称点一般分别在对称轴的两侧，如果某点在对称轴上,那么它的对称点就是它本身 即学即练 如图，在中，边的垂直平分线相交于点P． （1）求证； （2）点P是否也在边的垂直平分线上？由此你还能得出什么结论？ 注意： 到三角形三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点，只要作出其中任意两条边的垂直平分线就可以确定这个点的位置 知识点四 对称轴的画法 画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴的步骤： (1)找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一对对应点; (2)连接这对对应点; (3)画出对应点所连线段的垂直平分线 这条垂直平分线就是该轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴 注意： 1. 画对称轴的依据是轴对称图形或两个图形成轴对称的性质，即对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线 2. 对于轴对称图形,由于对称轴可能不是唯一的，因此要多角度观察,选取不同类型的对应点，才能作全对称轴. 即学即练 （2023春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在中，按以下步骤作图： ①分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点和； ②作直线，分别交，于点和，连接．    (1)直线垂直平分线段吗？请说明理由． (2)若是的中点，且，求的度数． 题型一 线段垂直平分线的性质 例1 （2023春·四川甘孜·八年级统考期末）如图，在中，，的平分线交于点，若垂直平分，求的度数．    举一反三1 （2023春·陕西榆林·八年级校考期中）如图，在中，垂直平分，平分，，交的延长线于点． (1)若，求的度数； (2)若，与的周长之差为8cm，且的面积为，求的面积． 举一反三2 （2023春·安徽池州·八年级统考开学考试）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，，作直线交于点，连接．若的周长为24，，则的周长为（    ）    A．10 B．17 C．20 D．21.5 题型二 线段垂直平分线的判定 例2 （2023春·江西九江·八年级校考期中）如图，，，点在的垂直平分线上．    (1)，，有什么数是关系？请说明理由． (2)求证：． (3)若，，求的面积． 举一反三1 （2023春·湖南郴州·八年级统考开学考试）如图，在中，为的平分线，于点E，于点F． (1)求证：是的垂直平分线； (2)若的面积是，，，求的长． 举一反三2 （2023春·陕西咸阳·八年级统考期中）如图，点P是内的一点，若，则（　　）    A．点P在的平分线上 B．点P在的平分线上 C．点P在边的垂直平分线上 D．点P在边的垂直平分线上 题型三 线段垂直平分线的实际应用 例3 （2023春·河北秦皇岛·八年级校考开学考试）元旦联欢会上，3名同学分别站在三个顶点的位置上．游戏时，要求在他们中间放一个凳子，该先坐到子上谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放置的最适当的位置是在的（    ） A．三边垂直平分线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边中线的交点 D．三边上高的交点 举一反三1 （2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学