3.3.2 抛物线的简单几何性质（第1课时）（导学案）-【上好课】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第一册）

3.3.2　抛物线的简单几何性质 第1课时　 导学案 学习目标 1.了解抛物线的简单几何性质,培养数学抽象的核心素养． 2.能利用性质解决与抛物线有关的问题． 3.能利用方程与数形结合思想解决焦点弦问题,培养数学运算的核心素养. 重点难点 重点：抛物线的标准方程及其推导过程 难点：求抛物线标准方程 课前预习 自主梳理 知识点一 抛物线的几何性质 标准 方程 y2＝ (p＞0) y2＝ (p＞0) x2＝ (p＞0) x2＝ (p＞0) p的几何意义：焦点F到 的距离 图形 开口方向 向右 向左 向上 向下 范围 x ，y∈R x ，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 e＝ 1.对以上四种位置不同的抛物线和它们的标准方程进行对比、分析, 其共同点: (1)顶点都为原点; (2)对称轴为坐标轴; (3)准线与对称轴垂直,垂足与焦点分别关于原点对称,它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的; (4)焦点到准线的距离均为p. 其不同点:(1)对称轴为x轴时,方程的右端为±2px,左端为y2;对称轴为y轴时,方程的右端为±2py,左端为x2; 2.只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程. 【思考】怎样根据抛物线的标准方程判断抛物线的对称轴和开口方向? 【提示】开口方向与x轴(或y轴)的正半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的正半轴上,方程的右端取正号;开口方向与x轴(或y轴)的负半轴相同,焦点在x轴(或y轴)的负半轴上,方程的右端取负号. 知识点二 抛物线的焦点弦长 斜率为k的直线l经过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，与抛物线相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，你能想到哪些求弦长|AB|的方法？ 【提示】法一：利用两点间的距离公式； 法二：利用弦长公式|AB|＝|x1－x2|； 法三：|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p. ◆焦点弦 直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝ . 知识点三 直线与抛物线的位置关系 直线y＝kx＋b与抛物线y2＝2px(p>0)的交点个数取决于关于x的方程组的解的个数，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0的解的个数． 当k≠0时，若Δ>0，则直线与抛物线有 个不同的公共点； 若Δ＝0，则直线与抛物线有 个公共点； 若Δ<0，则直线与抛物线没有公共点． 当k＝0时，直线与抛物线的轴平行或 ，此时直线与抛物线有 个公共点．　 自主检测 1.判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)抛物线没有渐近线．(　　) (2)过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦长为p.(　　) (3)若一条直线与抛物线只有一个公共点，则二者一定相切．(　　) (4)抛物线y2＝2px(p＞0)的图象上任意一点的横坐标的取值范围是x≥0.(　　) 2.下列命题中正确的是（    ） A．抛物线 的焦点坐标为 ． B．抛物线 的准线方程为 x =−1． C．抛物线 的图象关于 x 轴对称． D．抛物线 的图象关于 y 轴对称． 3.（多选题）以轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（    ） A． B． C． D． 4.已知抛物线上一点，则点A到抛物线焦点的距离为 . 5.已知抛物线上一点到焦点和点的距离之和的最小值为，则此抛物线方程为 ． 新课导学 学习探究 环节一 创设情境，引入课题 问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线① 的哪些几何性质？如何研究这些性质？ 问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？ 环节二 观察分析，感知概念 1．范围 问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？ 因为，由方程①可知，对于抛物线上的点，，， 当时，抛物线在轴的右侧，开口方向与轴的正方向相同； 当的值增大时，的值也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸． 2．对称性 问题4：观察图形，抛物线有几条对称轴？是否有对称中心？ 问题5：从“数”的角度，怎样说明抛物线图像关于x轴对称？ 以代，方程①不变，所以抛物线关于轴对称．我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴． 环节三 抽象概括，形成概念 3．顶点 问题