24.2.3切线的判定与性质 课件2022-2023学年人教版九年级数学上册

24.2.3切线的判定与性质 人教版九年级上册 知识回顾 (1)直线和圆有 个公共点，则这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的 线； (2)直线和圆有 个公共点，则这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的切线，这个点叫 ； (3)直线和圆 公共点，这时我们说这条直线与圆相离． 两 割 一 切点 没有 (4)设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d.①d＞r⇔直线和圆 ；②d＝r⇔直线和圆 ；③d＜r⇔直线和圆 ． 相离 相切 相交 教学目标 1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线. 2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理. 3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题. 新知导入 转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？ 新知探究 如图，在⊙O 中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？ 直线l和⊙O 有什么位置关系？ 思考1 d＝r 直线l和⊙O相切 d 探究切线的判定定理 新知探究 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. OA为⊙O的半径 BC ⊥ OA于A BC为⊙O的切线 A B C 切线的判定定理 应用格式 O 应用该定理时，两个条件缺一不可：一是经过半径的外端；二是垂直于这条半径. 新知探究 O. A O. A B A O (1) (2) (3) 判断下面的直线是不是圆的切线： 不是 因为l与半径不垂直. 不是 因为l不经过半径的外端. 不是 因为l不经过半径的外端. 新知小结 判断一条直线是一个圆的切线有三个方法： 1.定义法：与圆有唯一公共点的直线是圆的切线； 2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径，即d=r； 3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A l O l r d A O l A O 新知探究 (1) 有交点，连半径，证垂直； (2) 无交点，作垂直，证半径. 证切线时辅助线的添加方法： 新知典例 例1 如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D = 30°.求证：CD是⊙O的切线. 证明：如图，连接OC. ∵AC=CD，∠D=30°, ∴∠A= ∠D = 30°. ∵OA=OC，∴∠ACO=∠A = 30°，∴∠COD=60°， ∴∠OCD=90°，即OC⊥CD. ∴CD是⊙O的切线. 有交点，连半径，证垂直 新知练习 1.如图，在⊙O中，AB是直径，AD是弦，∠ADE＝60°，∠C＝30°. 判断直线CD是否是⊙O的切线，并说明理由； 证明：CD是⊙O的切线，理由如下： 连接OD， ∵∠ADE＝60°，∠C＝30°， ∴∠A＝30°， ∵OA＝OD， ∴∠ODA＝∠A＝30°， ∴∠ODE＝∠ODA＋∠ADE＝30°＋60°＝90°， ∴OD⊥CD， ∴CD是⊙O的切线； 新知典例 E 例2 如图,△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切于点D.求证：直线AC是⊙O 的切线． AC是⊙O的切线 作OE⊥AC 证OE= r AB与⊙O 相切于点D OD⊥AB OE=OD AO平分∠BAC △ABC为等腰三角形 O是底边BC的中点 思路分析 无交点，作垂直，证半径 新知典例 E 证明：如图，过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OA. ∵点O是等腰△ABC底边BC的中点， ∴AO是∠BAC的平分线. ∵AB与⊙O相切于点D， ∴OD⊥AB. 又∵OE⊥AC， ∴OE=OD，即OE是⊙O的半径. 这样，AC经过半径OE的外端，且AC⊥OE， ∴AC是⊙O的切线. 新知练习 2. 如图，已知：∠MAN=30°，O为边AN上一点，以O为圆心，2为半径作⊙O，交AN于D，E两点，设AD=2， 求证：AM是⊙O的切线． 证明：过O点作OF⊥AM于F． F ∵AD=2，OD=2， ∴AO=AD+OD=4 ∵∠AFO=90°，∠MAN=30°， ∴OF＝OA＝2＝r． ∴⊙O与AM相切． 新知探究 思考2 将“思考1”中的问题反过来.如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l 是不是一定垂直呢？ 猜想 ⊙O的切线l垂直于过切点的半径OA. 探究切线的性质定理 新知探究 证明猜想 如图，已知直线l是⊙O的切线，切点为A.求证:l⊥OA. 证明（反证法）： 假设OA与直线l不垂直， 过点O作OB⊥l ，垂足为B. ∵垂线段最短 ∴OB＜OA，即d＜r， ∴直线l与⊙O相交. 这与已知直线l是