三角换元精选题型讲义-2024届高三数学二轮专题复习

高考复习三角换元精选题型 三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用.一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索. 1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中x为变量，k为非常数. 2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解. 例如：， 等，均可以用三角换元来解决. 3.核心公式： 4.重要推论（类型四）：； 【典例1】求函数的值域. 【大招指引】 遇到根号问题，通常我们都需要利用换元法就值域，但由于根号内有平方，则需要利用含平方的换元形式，于是我们利用三角换元． 解析：令，则原式 = 其中. ， 【题后反思】不少同学在做这类问题是，会想到换元，但会遇到以下几个问题：（1）直接根式换元，然而式中仍然出现根式，换元失败；（2）利用三角换元时，没有合理的设置角的范围，导致去根号时出错；（3）对于三角函数求最值问题不熟练． 【温馨提醒】 在利用三角换元时，一定要注意角度限制，因为对于三角函数的值域都是[-1，1]，但其角度有多种形式，于是我们在设置角度时要抓住2点：（1）设置的角度要使三角函数的范围为[-1，1]，（2）根号要能直接开出来.就如本题来讲，令，此时，于是. 【举一反三】 1．求函数的值域. 2．若对任意，恒成立，则实数的取值范围是 . 3．若正的边长为4，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．如图，正方形的边长为是正方形的内切圆上任意一点，，则下列结论错误的是（    ） A．的最大值为4 B．的最大值为 C．的最大值为2 D．的最大值为 5．已知椭圆：与双曲线：有相同的焦点、，椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，点P为椭圆与双曲线的交点，且，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知点在椭圆上运动，点在圆上运动，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．若为实数，且，则的最小值为 ． 8．实数满足，且，当时，则的范围是 . 【2023安徽亳州一中高三最后一卷】 9．已知平面向量、、满足，，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【2023湖南邵阳二中全真模拟】 10．已知点在单位圆上，点，点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【2023福建宁德质检】 12．在平面直角坐标系中，点为圆上的任一点，.若，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【2023贵州毕节诊断】 13．等腰三角形ABC内接于半径为2的圆O中，，且M为圆O上一点，的最大值为（    ） A．2 B．6 C．8 D．10 【2023广西北部湾经济区一模】 14．已知c是椭圆）的半焦距，则取最大值时椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 15．实数满足，则的范围是 . 【2022辽宁省联考】 16．黄金分割比被誉为“人间最巧的比例”.离心率的椭圆被称为“优美椭圆”，在平面直角坐标系中的“优美椭圆”C：（）的左右顶点分别为A，B，“优美椭圆”C上动点P（异于椭圆的左右顶点），设直线，的斜率分别为，，则 . 17．（1）已知实数，，满足，，则的最大值是 ； （2）对于，当非零实数，满足，且使最大时，的最小值为 ． 18．（1）求函数的最大值和最小值； （2）求函数的值域； （3）求函数的值域； （4）已知，求的最值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高考复习三角换元精选解析 三角换元法是众多换元法中的一种，它以三角函数为“元”，将代数问题转化为易于应用三角函数性质求解的问题，三角换元法在求解方程、不等式、解析几何和函数最值等方面都有着广泛的应用.一般情况下，在运用三角换元的题目中，往往在表达式的形式或字母的取值范围等方面明显反映出三角函数式的特征，这一点给三角换元法的应用提供了线索. 1.具体表现在该方法对于含有被开方式为二次式的二次根式问题能起到除去二次根式的作用，因为二次根式总是可以转化为、或的形式，其中x为变量，k为非常数. 2.二元二次曲线(二元二次方程)或者多元变量的最值问题，也可以转换成利用三角换元的方法进行求解. 例如：， 等，均可以用三角换元来解决. 3.核心公式： 4.重要推论（类型四）：； 【典例1】求函