2.2基本不等式课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

基本不等式 教学目标 1.能利用完全平方公式得出的重要不等式进一步得到基本不等式 2.从几何和代数两角度论证基本不等式，培养学生数形结合的思想、直观想象的学科素养. 3.能初步利用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题，从中领会不等式成立时的三个限制条件（一正、二定、三相等）在求解最值问题中的作用. 相等关系 等式 等式的基本性质 相等关系自身的特性 等式在运算中的不变性 a＝bb＝a a＝b，b＝ca＝c a＝ba±c＝b±c a＝bac＝bc a＝b，c≠0＝ 不等关系 不等式 不等式的基本性质 不等关系自身的特性 不等式在运算中的不变性 a＞bb＜a a＞b，b＞ca＞c a＞ba＋c＞b＋c a＞b，c＞0ac＞bc； a＞b，c＜0ac＜bc 两个实数大小关系的基本事实 上节回溯 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 一般地，对于任意实数a，b，我们有： 当且仅当a=b时，等号成立 . 即： 即： 一、基本不等式 一般地，对于任意正实数a，b，我们有： 当且仅当a=b时，等号成立 . 我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 叫做正数a，b的几何平均数； 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 当且仅当a=b时，上式中的等号成立。 上面通过考察 a2+b2≥2ab 的特殊情况得到了这个 结论，能不能直接利用不等式的性质推导出这个结 论呢？ 用不等式表示为 易证∆ACD∽∆DCB 二. 的几何解释： 显然，上述不等式当且仅当点C 与圆心重合，即当a=b时，等号成立 . 过C 作弦DEAB 连接AD，BD ， 设AB 为圆的直径，点C 是AB上一点， 由于CD小于或等于圆的半径， 从而 例1　已知 x＞0，求 x＋ 的最小值． 分析： 求 x＋ 的最小值，就是要求一个 y0 (＝x0＋)，使 x>0，都有 x＋≥ y0．观察 x＋，发现 x · ＝1．联系基本不等式，可以利用正数 x 和 的算术平均数与几何平均数的关系得到 y0＝2． 三.例题讲解 3、用均值不等式，应具备三个条件： 四、归纳小结： 1、重要的不等式 一般地，对于任意实数a，b，我们有： 当且仅当a=b时，等号成立 . 2、基本不等式 一般地，对于任意正实数a，b，我们有： 当且仅当a=b时，等号成立 . 一正二定三相等。 基本不等式 教学目标1. 通过例题，掌握基本不等式及应用，培养学生数学抽象的核心素养； 2. 能够利用基本不等式求函数或代数式的最值，提升数学运算和逻辑推理的核心素养； 新知导入 回顾基本不等式（代数形式及运用其求最值的使用条件） 对于变形为 当且仅当a=b时，等号成立． 通常我们称不等式1为基本不等式. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新课探究 例2　已知 x，y 都是正数，求证： （1） 如果积 xy 等于定值 P，那么当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2； 证明：因为 x，y 都是正数，所以 ≥． （1）当积 xy 等于定值 P 时，≥，所以 x＋y≥2， 当且仅当 x＝y 时，上式等号成立． 于是，当 x＝y 时，和 x＋y 有最小值 2． 例2　已知 x，y 都是正数，求证： （2）如果和 x＋y 等于定值 S，那么当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2． 证明：因为 x，y 都是正数，所以 ≥． （2）当和 x＋y 等于定值 S 时，≤，所以 xy≤S2， 当且仅当 x＝y 时，上式等号成立． 于是，当 x＝y 时，积 xy 有最大值 S2． ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 利用基本不等式求最值时，要注意 基本不等式与最值 一“正”二“定”三“相等” 例题讲解 例1：已知x、y都是正数，求证： ≥2 （1） （x＋y）（x2＋y2）（x3＋y3）≥8x3y3 （2） 例2： （1）若x>0，求函数 的最小值，并求此时x的值 （2）设 ，求函数 的最大值 课堂小结 本节课我们研究了哪些问题？有什么收获？ 基本不等式 教学目标1. 通过实例，掌握基本不等式