精品解析：上海市复兴高级中学2024届高三上学期开学考试数学试题

复兴中学2023学年第一学期高三年级数学摸底考 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1 集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____． 2. 函数的定义域是______. 3. 设复数（其中i为虚数单位），则______. 4. 已知向量，，若，则mn的值为______. 5. 的二项展开式中的系数为______. 6. 若圆锥的轴截面是边长为1的正三角形．则圆锥的侧面积是_________． 7. 若两个正数的几何平均值是1，则与的算术平均值的最小值是__________. 8. 已知，则曲线在处的切线方程是___________. 9. 已知二次函数的值域为，则函数的值域为______． 10. 从正方体的8个顶点中任选4个，则这4个点在同一个平面的概率是__________.（结果用最简分数表示）. 11. 已知是圆柱的一条母线，AB是圆柱下底面的直径，C是圆柱下底面圆周上异于A，B的两点，若圆柱的侧面积为4π，则三棱锥—ABC外接球体积的最小值为___________ 12. 已知，为椭圆：的左右焦点，A为的上顶点，直线l经过点且与交于B，C两点；若l垂直平分线段，则△ABC的周长是___________. 二、选择题（本大题共4题，每题各5分，共20分） 13. 已知a，b都是自然数，则“是偶数”是“a，b都是偶数”的（ ）条件 A. 充分而不必要 B. 必要而不充分 C. 充要 D. 既不充分也不必要 14. 虚数平方是（ ） A. 正实数 B. 虚数 C. 负实数 D. 虚数或负实数 15. 已知函数与它的导函数的定义域均为R，现有下述两个命题： ①“为奇函数”是“为偶函数”的充分非必要条件； ②“为严格增函数”是“为严格增函数”的必要非充分条件． 则说法正确的选项是（ ） A. 命题①和②均为真命题 B. 命题①为真命题，命题②为假命题 C. 命题①为假命题，命题②为真命题 D. 命题①和②均为假命题 16. “阳马”，是底面为矩形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥．《九章算术》总结了先秦时期数学成就，是我国古代内容极为丰富的数学巨著，对后世数学研究产生了广泛而深远的影响．书中有如下问题：“今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺．问积几何？” 其意思为：“今有底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥，它的底面长、宽分别为尺和尺，高为8尺，问它的体积是多少？”若以上的条件不变，则这个四棱锥的外接球的表面积为（ ）平方尺. A. B. C. D. 三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋16＋18＝76分） 17. 已知函数，. （1）求函数的单调增区间； （2）中，角A、B、C的对边分别为、、，当，，且的面积为时，求. 18. 已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列. （1）求数列通项公式； （2）求当n为何值时，数列前n项和取得最大值. 19. 如图，棱长为2的正方体中，、、分别是、、的中点. （1）求异面直线与所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求三棱锥体积. 20. 已知抛物线的焦点为F，准线为l； （1）若F为双曲线的一个焦点，求双曲线C的离心率e； （2）设l与x轴的交点为E，点P在第一象限，且在上，若，求直线EP的方程； （3）经过点F且斜率为的直线l'与相交于A，B两点，O为坐标原点，直线分别与l相交于点M，N；试探究：以线段MN为直径的圆C是否过定点；若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由； 21. 定义：如果函数和的图像上分别存在点M和N关于x轴对称，则称函数和具有C关系． （1）判断函数和是否具有C关系； （2）若函数和不具有C关系，求实数a的取值范围； （3）若函数和在区间上具有C关系，求实数m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 复兴中学2023学年第一学期高三年级数学摸底考 一、填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 集合A={1，2}，B={2，3}，则A∩B=_____． 【答案】{2} 【解析】 【分析】直接利用交集的定义求解． 【详解】解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A∩B={1，2}∩{2，3}={2}． 故答案为：{2}． 2. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据已知，可得，解出不等式即可得到结果. 【详解】要使函数有意义，则应满足，即 该不等式等价于，解得 所以，函数的定义域是. 故答案为：. 3. 设复数（其中i为虚数单位），则______. 【答案】 【解析】 【分析】化简，根据复数模的运算即可求得结果. 【详解】因为，所以. 故答案为：. 4.