2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2.3.3 点到直线的距离公式 一、知识回顾 1.P1(x1,y1)、P2(x2,y2)两点间的距离公式： 特别地，原点O(0，0)与任一点P(x,y)间的距离 2.弦长公式： 二、探究新知 如下图，已知点P(x0, y0),直线l: Ax+By+C=0，如何求点P到直线l的距离? 点P到直线l的距离，就是从点P到直线l的垂线段PQ的长度，其中Q是垂足(如上图).因此，求出垂足Q的坐标，利用两点间的距离公式求出|PQ|，就可以得到点P到直线l的距离. 二、探究新知 设A≠0，B≠0. 由PQ⊥l，以及直线l的斜率 为- ，可得l的垂线PQ的斜率为 ,因此，垂线PQ 的方程为y-y0= (x-x0)，即Bx-Ay= Bx0-Ay0. 解方程组 得直线l与PQ的交点Q(即垂足)的坐标为 于是 三、点到直线的距离 点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离 当A=0，或B=0时，上述公式仍然成立. (1)运用此公式时要注意直线方程必须是一般式,若给出其他形式, 应先化成一般式再用公式. (2)分子是P点坐标代入直线方程左边. (3)分母是直线未知数x、y系数平方和的算术平方根. 注意 三、点到直线的距离 上述方法中，我们根据点到直线距离的定义，将点到直线的距离转化为两点之间的距离，思路自然但运算量较大. 反思求解过程，你发现引起复杂运算的原因了吗?由此能否给出简化运算的方法? 在上述方法中，若设垂足Q的坐标为(x，y)， 则 . 对于 ，你能给出它的 几何意义吗? 结合方程组 ，能否直接求出(x-x0)2+(y-y0)2, 进而求出|PQ|呢? 请你试一试! 我们知道，向量是解决距离、角度问题的有力工具. 能否用向量方法求点到直线的距离? 三、点到直线的距离 如上图，点P到直线l的距离，就是向量 的模. 设M(x，y)是直线l上的任意一点， 是与直线l的方向向量垂直的单位向量，则 是 在 上的投影向量，| |=| |. 如何利用直线l的方程得到与l的方向向量垂直的单位向量 ? 三、点到直线的距离 设P1(x1，y1)、P2(x2，y2)是直线l: Ax+By+C=0上的任意两点，则 =(x2-x1，y2-y1)是直线l 的方向向量. 把Ax1+By1+C=0和Ax2+By2+C=0相减，得A(x2-x1)+B(y2-y1)=0. 由平面向量的数量积运算知,向量(A，B)与向量(x2-x1，y2-y1) 垂直. 向量 (A，B)就是与直线l的方向向量垂直的一个单位 向量.我们取 = (A，B)，从而 三、点到直线的距离 因为点M(x，y)在直线l上，所以Ax+By+C=0，所以Ax+By=-C.代人上式，得 因此， 比较上述两种方法，第一种方法从定义出发，把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果，思路自然;第二种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化了运算. 除了上述两种方法，你还有其他推导方法吗? 三、点到直线的距离 四、典型例题 例1 求点P(-1，2)到直线l: 3x=2的距离. 直线l有什么特性?由此你能给出简便解法吗? 四、典型例题 例2 已知△ABC的三个顶点分别是A(1，3)、B(3，1)、C(-1，0)， 求△ABC的面积. 例3 已知直线l经过点M(-1,2)，且A(2,3)、B(-4,5)两点到直线l的 距离相等,求直线l的方程. 四、典型例题 方法归纳 解此类问题主要有两种方法: (1)利用数形结合的方法，过一定点与两定点距离相等的点的直线有两条，根据这两条直线的几何特征可求出其直线方程. (2)求此类问题的一般方法，它应用了点到直线的距离公式，运用时直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再运用公式. 直线方程Ax+By+C=0中A=0或B=0时,公式也成立. 例4 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一 腰上的高. 四、典型例题 五、课堂小结 1.点P(x0, y0)到直线l: Ax+By+C=0的距离 2.点到直线的距离即是点与直线上点连线的距离的最小值，利用 点到直线的距离公式，解题时要注意把直线方程化为一般式. 3.利用点到直线的距离公式可求直线的方程，有时需结合图形， 数形结合，使问题更清