第22章 二次函数 学案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十二章  二次函数

知识点一、二次函数的定义

一般地，形如（是常数，）的函数，叫做二次函数。分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数、常数项。

例如:

二次函数的二次项为，二次项系数为；一次项为，一次项系数为；常数项为。

【例题1】下列各式中，是二次函数的有__________

①                        ②  

③         ④  

⑤    ⑥

【例题2】已知函数是二次函数，则代数式的值为________.

【例题3】函数．  

（1）当m__________时，该函数为二次函数；

（2）当m__________时，该函数为一次函数．

【例题4】二次函数的二次项系数为__________，一次项系数为________,常数项为____________。

知识点二、二次函数的解析式

1．               二次函数的一般式：，

例如：, , , ,均为二次函数的一般式。

2．               二次函数的顶点式:

例如：, , , ,均为二次函数的顶点式。

3. 二次函数的交点式（两根式）:)

例如：, ,均为二次函数的交点式。

知识点三、图像和性质一（顶点式）

（一）二次函数的图像和性质

的符号
开口方向	向上	向下
顶点坐标
对称轴
增减性	当时，y随x的增大而增大； 当时，y随x的增大而减小。	当时，y随x的增大而减小； 当时，y随x的增大而增大。
最值	当时，y有最小值k．	当时，y有最大值k．

（二）二次函数图像的画法：

（1）列表：在顶点两侧对称的取几个点（不少于4个点）

x	……								……
y	……								……

 

 

（2）描点

（3）连线：用圆滑曲线连接各点（二次函数图像是一条抛物线）

注意：作图时要注意二次函数图像的开口方向、把函数的对称轴、关键点（顶点、与x轴的交点、与y轴的交点）标出来

【例题1】请在平面直角坐标系中画出,的图像

【例题2】二次函数的顶点坐标、对称轴分别为（       ）

        、

   

【例题3】二次函数的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标分别是（       ）

开口向下，对称轴为，顶点为    

开口向下，对称轴为，顶点为

开口向上，对称轴为，顶点为  

开口向上，对称轴为，顶点为

【例题4】在同一坐标系中画出的图像，正确的是（       ）

【例题5】小张同学说出了二次函数的两个条件：

(1)  当x＜1时，y随x的增大而增大；

(2)  函数图象经过点(－2，4)．

则符合条件的二次函数表达式可以是(     )

1.         B.  

C.        D.

【例题6】下列抛物线中与y＝-x2+3x-5的形状、开口方向都相同，只有位置不同的（   ）

（A）y＝x2+3x-5        （B）y＝-x2+x

   （C）y＝x2+3x-5      （D）y＝x2

【例题7】二次函数的图像开口__________，对称轴是________________,顶点坐标是__________。当x_______________时，y随x的增大而增大；当x_______________时，y随x的增大而减小；

【例题8】二次函数的图像开口__________，对称轴是________________,顶点坐标是__________。当x_______________时，y随x的增大而增大；当x_______________时，y随x的增大而减小；

知识点四、图像和性质二（一般式）

开口方向	向上	向下
顶点坐标
对称轴	直线	直线
增减性	当 当	当 当
最值	当	当

1.的图像和性质

二次函数，

当对称轴为y轴时，，解析式变成的形式；

当图像过原点时，，图像变成的形式；顶点为原点时，解析式变为的形式。

【例题1】请在平面直角坐标系中画出的图像

【例题2】抛物线的开口      ，对称轴是        ，顶点坐标是      ，当x       时，函数值y随x的增大而减小；当x       时，函数值y随x的增大而增大。当x=       时，函数有最    值，是y=       .

【例题3】二次函数的最小值是________．

【例题4】关于二次函数y=x2﹣4x+3，下列说法正确的有_______________

①当x＜1时，y随x的增大而减小    ②函数有最大值-1  ③函数的对称轴为y=2   ④顶点坐标为（2，﹣1）

【例题5】求抛物线的对称轴和顶点坐标．
 

 

2.二次函数图象的特征与a、b、c及的符号之间的关系

求二次函数与x轴的交点，令，解出x值，与x轴的交点为（）和（）

求二次函数与y轴的交点，令，解出y值，与y轴的交点为（）

备注：二次函数与y轴的交点为（0，c）

【例题1】二次函数一般式．

（1）写出其开口方向、对称轴和顶点D的坐标；

（2）分别求出它与y轴的交点C，与x轴的交点A、B的坐标.

 

【例题2】已知二次函数的图象，如图所示，则下列结论正确的是（   ）．

A．    B．    C．    D．

【例题3】抛物线y＝x2＋2x＋3与坐标轴的交点坐标为____

【例题4】已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为（    ）

A．2019  B．2020 C．2021  D．2022

【例题5】二次函数在其图像对称轴的左侧，y随x的增大而增大，求m的值.

【例题6】二次函数的图象如图，则点在（     ）

1. 第一象限   B. 第二象限 C. 第三象限   D. 第四象限

知识点五、一般式与顶点式的互换

所有的一般式都可以通过配方变成顶点式，所有的顶点式都可以化简为一般式。

例如：

【例题1】把下列一般式化为顶点式

（1）     （2）

（3）      （4）

（5）    （6）

【例题2】把下列顶点式化为一般式

（1）   （2）

（3）    （4）

（5）

【例题3】若二次函数配方后为

，则b、k的值分别为（   ）．

    A．0，5     B．0，1    C．-4，5    D．-4，1

知识点六、图像变换

（一）         平移

方法一：

（1）先化成顶点式；

（2）左右平移改变的是x，左加右减；

（3）上下平移改变的是k，上加下减。

方法二：在一般式的基础上，直接对x进行左加右减、对c进行上加下减变化。

注意：已知平移之后的解析式，求平移之前的解析式，平移变换变成相反的。

【例题1】把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(　 )
A.      B.
C.       D.
【例题2】二次函数的图象沿轴向左平移2个单位，再沿轴向上平移3个单位，得到的图象的函数解析式为，则b与c分别等于（    ）

A、6，4    B、－8，14    C、－6，6    D、－8，－14

【例题3】将抛物线向左平移3个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线的解析式为___________________

【例题4】将抛物线向下平移5个单位，再向左平移2个单位，得到的抛物线的解析式为___________________

【例题5】如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过平移得到抛物线，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为（       ）

A、2          B、4           C、8           D、16

          

（二）         轴对称

1. 关于x轴对称

（1）          变成

解题思路：开口大小不变，但方向变成相反的；对称轴不变；与y轴的交点变成相反数。

（2）          变成

解题思路：开口大小不变，但方向变成相反的；对称轴不变；顶点的纵坐标变成相反数。

2. 关于y轴对称

（1）          变成

解题思路：开口大小不变，方向不变；对称轴变成相反数；与y轴的交点不变。

（2）变成

解题思路：开口大小不变，方向不变；对称轴变成相反数；顶点的纵坐标不变。

3. 关于直线（平行于y轴的直线）对称

解题思路：开口大小不变，方向不变；找出新的顶点坐标，利用顶点式进行求解。

4. 关于直线（平行于x轴的直线）对称

解题思路：开口大小不变，方向变成相反的；找出新的顶点坐标，利用顶点式进行求解。

【例题1】抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为_____________；

关于y轴对称的抛物线的解析式为__________________；

关于直线1对称的抛物线的解析式为______________________；

关于直线1对称的抛物线的解析式为______________________；

【例题2】抛物线关于x轴对称的抛物线的解析式为_____________；

关于y轴对称的抛物线的解析式为__________________；

关于直线1对称的抛物线的解析式为____________

关于直线1对称的抛物线的解析式为_________

（三）中心对称

1.关于原点对称

（1）变成

解题思路：开口大小不变，但方向变成相反的；对称轴变成相反数；与y轴的交点变成相反数。

（2）变成

解题思路：开口大小不变，但方向变成相反的；对称轴变成相反数；顶点的纵坐标变成相反数。

2.关于顶点对称

变成

解题思路：开口大小不变，但方向变成相反的；对称轴不变；顶点的纵坐标不变。

【例题1】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为_____________；

关于顶点对称的抛物线的解析式为______________

【例题2】抛物线关于原点对称的抛物线的解析式为_____________；

关于顶点对称的抛物线的解析式为______________

知识点七、求二次函数解析式

1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：

  (1)一般式： (a，b，c为常数，a≠0)；

  (2)顶点式： (a，h，k为常数，a≠0)；

  (3)交点式： (，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．

2. 知道三个点的坐标，设一般式求解析式。

知道顶点坐标和另外一个点的坐标，设顶点式求解析式

知道对称轴和两个点的坐标，设顶点式求解析式

  知道与x轴的两个交点坐标，以及另外一个点的坐标，设交点式)求解析式。

【例题1】按下列条件求二次函数解析式：抛物线过点（-1,9），（0,5），（1，7）；

 

 

 

【例题2】已知二次函数的图象经过点（0，3），（－3，0），（2，－5），且与x轴交于A、B两点．

（1）试确定此二次函数的解析式；

（2）判断点P（－2，3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△ABC的面积；如果不在，请说明理由。

 

 

 

【例题3】按下列条件求二次函数解析式：当x=4时函数有最小值-3，且抛物线过点（1，1.5）；

 

 

【例题4】已知抛物线y=x2－(a+2)x+9的顶点在坐标轴上，同a=                。

 

 

【例题5】已知抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=－x2－7x+12形状相同，顶点在直线x=1上，且顶点到x轴的距离为，则此抛物线解析式为           。

 

 

 

【例题6】按下列条件求二次函数解析式：抛物线与x轴的交点是（-1,0），（1,0），与y轴交点是（-5,0）；

 

 

【例题7】已知二次函数的图象x轴两交点间的距离为6，对称轴为，且经过点（３，－4），求这个二次函数的解析式。

 

 

【例题8】二次函数的图象经过点A(0，0)，B(-1，-11)，C(1，9)三点，则它的解析式为(   )．