第21章 一元二次方程 学案 2023-2024学年人教版九年级数学上册

第二十一章  一元二次方程

知识点一、一元二次方程的定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程。

要点：①1个未知数；②未知数的最高次数是2；③整式方程；以上三点均满足才是一元二次方程。

【例题】下列方程中，一元二次方程有________________

①       ②           ③                   

④    ⑤      ⑥ 

 

知识点二、一元二次方程的一般形式

一个一元二次方程经过整理都可以化成（a≠0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。

其中是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项。

注意：

①是保证一元二次方程有意义的条件，判定一个方程是不是一个一元二次方程需要先化为一般形式再根据三个条件判定；

②指出一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要带上前面的符号。

【例题1】方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（　　）

     A．6、2、5         B．2、﹣6、5     C．2、﹣6、﹣5     D．﹣2、6、5

【例题2】将一元二次方程5x2－1=4x化成一般形式后，一次项系数和二次项系数分别为（　　）

      A．5，－1  B．5，4    C．－4，5      D．5x2，－4x

【例题3】将一元二次方程化成一般形式后的常数项是　　　　　　　。

【例题4】把一元二次方程化为一般形式为：　　　　　　　。

【例题5】关于x的一元二次方程常数项为0，则m值等于____________

【例题6】若关于x的方程（m﹣1）x2+5x+2=0是一元二次方程，则m的值不能为_______。

【例题7】已知关于x的方程（k﹣1）（k﹣2）x2+（k﹣1）x+5=0。求：

 （1）当k为何值时，原方程是一元二次方程；

 （2）当k为何值时，原方程是一元一次方程；并求出此时方程的解

知识点三、一元二次方程的解

1、概念：使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根。

2、判断一个数是否是一元二次方程的根：将此数代入这个一元二次方程的左右两边，看是否相等， 若相等，就是方程的根；若不相等，就不是方程的根。

3、重点解读：代入法是常用的检验根的方法； 代入方程的根，可以求方程中的未知字母系数或字母常数值。

【例题1】方程的解为（     ）

  A.     B.   C.  D.

【例题2】若关于x的一元二次方程的两个根为=1,，则这个方程是（  ）

A．     B．        C．       D．

【例题3】已知一元二次方程ax2+bx+c=0，若a+b+c=0，则该方程一定有一个根为（　　）

 A．0           B．1             C．﹣1              D．2

【例题4】一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a﹣2b+c=0，则它的一个根是（　　）

 A．﹣2          B．          C．﹣4              D．2

【例题5】如果是一元二次方程的一个根，则常数的值是（    ）

 A．2                B．－2             C．±2             D．±4

【例题6】若0是关于x的一元二次方程（k﹣2）x2+3x+k2﹣4=0的一个根，则k=       。

【例题7】关于x的一元二次方程ax2﹣bx+3=0的一个根为x=2，则代数式4b﹣8a+3的值为_____。

【例题8】已知x=1是方程x2﹣5ax+a2=0的一个根，求代数式3a2﹣15a﹣7的值。

【例题9】已知m是方程x2﹣x﹣1=0的一个根，则代数式5m2﹣5m+2015的值是　   　。

 

知识点四、解一元二次方程

（一）                         直接开平方法

类型一、；

【例题1】一元二次方程的解是（　　）

   A．            B．        C．，     D．

【例题2】一元二次方程x2﹣81=0的解是（　　）

   A．x1=x2=9        B．x1=x2=﹣9        C．x1=﹣9，x2=9      D．x1=﹣1，x2=2

【例题3】方程3x2－1=0的解是（    ）

   A.x=±           B.x=±3              C.x=±    D.x=±

    

【例题1】方程的根是（　　）

    A．x1=4，x2=﹣4       B．x1=0，x2=﹣4       C．x1=0，x2=2      D．x1=0，x2=4

【例题2】 一元二次方程的解是（　　）

    A.x1=6，x2=﹣6       B．x1=x2=﹣6           C．x1=﹣3，x2=﹣9  D．x1=3，x2=﹣9

【例题3】方程的根是（　　）

    A．﹣1，3           B．1，﹣3       C．      D．

【例题4】已知一元二次方程的两个解恰好分别是等腰△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为___________

【例题5】已知一元二次方程的两个解恰好分别是△ABC的底边长和腰长，则△ABC的周长为_________

【例题6】方程的解为___________________

【例题】用直接开平方的方法解方程做法正确的是（　　）

   A.         B．       C．     D．

 

（二）                         配方法

1、配方法：通过配方，使方程的左边化为含有未知数的完全平方式，方程右边是非负数，形如，再利用直接开平方法解一元二次方程。

2、配方法步骤：

①方程化为一般形式         把一元二次方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）

②移项                     常数项移到等式右侧

③二次项系数化为1         方程左右两边同时除以二次项系数

④配方                     配方时左右同时加上一次项系数一半的平方

⑤直接开平方               开方后化为两个一元一次方程

配方法解一元二次方程的口诀：一移二除三配四开方；

配方法的理论依据是完全平方公式．