1.3 空间向量及其运算的坐标表示 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.3 空间向量及其运算的坐标表示
知识点一 空间直角坐标系
1．空间直角坐标系及相关概念
(1)空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底
，以O为原点，分别以i，j，k 的方向为正方向，以它们的长为单位长度建立三条数轴： ，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个
(2)相关概念： 叫做原点，i，j，k 都叫做坐标向量，通过 的平面叫做坐标平面，分别称为 平面、 平面、 平面，它们把空间分成八个部分．
2．右手直角坐标系
在空间直角坐标系中，让右手拇指指向 的正方向，食指指向 的正方向，如果中指指向 的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系．
知识点二 空间一点的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，i，j，k为坐标向量，对空间任意一点A，对应一个向量
，且点A的位置由向量唯一确定，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使＝xi＋yj＋zk.在单位正交基底 {i，j，k}下与向量 对应的 叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作 ，其中 叫做点A的横坐标， 叫做点A的纵坐标， 叫做点A的竖坐标．
知识点三 空间向量的坐标
在空间直角坐标系Oxyz中，给定向量a，作＝a.由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序实数组(x，y，z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标，上式可简记作a＝(x，y，z)．
知识点四 空间向量的坐标运算
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，有
向量运算 | 向量表示 | 坐标表示 |
加法 | a＋b | a＋b＝ |
减法 | a－b | a－b＝ |
数乘 | λa | λa＝ ，λ∈R |
数量积 | a·b | a·b＝ |
知识点五 空间向量的平行、垂直及模、夹角
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则有
当b≠0时，a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
a⊥b⇔a·b＝0⇔ ；
|a|＝
＝ ；
cos〈a，b〉＝
＝ .
知识点六 空间两点间的距离公式
设P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空间中任意两点，
则P1P2＝|
|＝ .
例题
- 已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
，
B．
，
C．，
D．以上都不对
2. 若
，则
=（ ）
A．
B．
C．
D．
3. 已知空间向量
，
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．1 D．2
4. 已知
，
，，则下列结论正确的是（ ）．
A．， B．，
C．， D．以上都不对
5. 已知向量
，
，若
，则实数
的值为（ ）
A．2 B．4 C．
D．
- 已知
，
，且
，则（ ）
A．
，
B．
，
C．
，
D．
，
6. （多选题）已知
，
，
，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
为钝角 D．
在
方向上的投影向量为
7. （多选题）若
，
，与
的夹角为120°，则
的值为（ ）
A．
B．17 C．1 D．
8. （多选题）已知向量
，向量与平行，向量与垂直，则（ ）
A．
B．
C．
的模为5 D．向量与的夹角为
9. 已知=(3，2，－1)，
(2，1，2)，则
=___________．
10. 已知
，
，
．若
、
、
三向量共面，则实数
______．
11. （多选）已知向量
，则下列结论不正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 平行六面体
中，
，则点
的坐标为（ ）
A．
B．
C．
D．
13. 空间直角坐标系中，已知点
，
，则
______．
14. 在
中，
，
，
.
（1）求顶点
、
的坐标；
（2）求
；
（3）若点
在
上，且
，求点的坐标.
- 已知空间三点
，
，
，若
三点共线，则
（ ）．
A．
B．1 C．
D．2
15. 已知向量
，
，
，若，，共面，则
___________.
16. 已知，
，
．若、、三向量共面，则实数
______．
17. 已知空间中三点
，
，
．
(1)若
，，三点共线，求
的值；
(2)若
，
的夹角是钝角，求的取值范围
- 已知空间三点A(1，-1，-1)，B(-1，-2，2)，C(2，1，1)，则
在
上的投影向量的模是______. - 已知
，
．设D在直线AB上，且
，设
，若
，则实数______． - 若向量
若
与
的夹角为锐角，则
的范围为_________. - 设向量
，
，计算
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