1.2 空间向量基本定理 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.2 空间向量基本定理
知识点一 空间向量基本定理
如果三个向量a，b，c ，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc.
我们把{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量．
知识点二 空间向量的正交分解
1．单位正交基底
如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是 ，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示．
2．向量的正交分解
由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行 ．
例题
- 已知O，A，B，C为空间四点，且向量
，
，
不能构成空间的一个基底，则一定有（ ）
- ，，共线
B．O，A，B，C中至少有三点共线
C．
与共线
D．O，A，B，C四点共面
2. 设
是空间的一个单位正交基底，且向量
， 
是空间的另一个基底，则用该基底表示向量
__ __________.
3. 设
,
,
，且
是空间的一个基底，给出下列向量组：①
，②
，③
}，④
．
其中可以作为空间一个基底的向量组有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
- 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)空间向量的基底是唯一的.( )
(2)若a,b,c是空间向量的一个基底,则a,b,c均为非零向量.( )
(3)已知A,B,M,N是空间四点,若
, 
, 
不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N共面.( )
(4)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0.( )
5. 若
、
、
为空间的一个基底，则下列选项中，能构成基底的是（ ）
A．，
，
B．，，
C．，， D．，，
6. 设
为空间的一个标准正交基底，
，
，则
等于（ ）
A．7 B．
C．23 D．11
- 若
构成空间的一个基底，则下列向量也可以构成空间中的一个基底的是（ ）
A．
B．
C．
D．
8. 如图，在三棱柱
中，E，F分别是BC，
的中点，
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
9. 已知三棱锥O—ABC，点M，N分别为线段AB，OC的中点，且
，
，
，用
，
，
表示
，则等于（ ）
A．
B．
C．
D．
10. 如图，设
，若
，则
（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 如图，OABC是四面体，G是
的重心，
是OG上一点，且
，则（ ）
A．
B．
=
C．=
D．=
12. 如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，
∠BAD=∠BAA1=60°，∠DAA1=120°.求：
(1)
的值. (2)线段AC1 的长
- 如图，已知平行六面体
中，底面ABCD是边长为2的菱形，
，
，M为
与
的交点，设
，
，
．
(1)用
，
，
表示
并求BM的长；
(2)求点A到直线BM的距离．
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