1.1 空间向量及其运算 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.1 空间向量及其运算

知识点一　空间向量的概念

1．定义：在空间，具有       和      的量叫做空间向量．

2．长度或模：向量的        ．

3．表示方法：

①几何表示法：空间向量用                表示；

②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作，其模记为|a|或||.

4．几类特殊的空间向量

例题．

1.下列说法正确的是（   ）

A．零向量没有方向

B．空间向量不可以平行移动

C．如果两个向量不相同，那么它们的长度不相等

D．同向且等长的有向线段表示同一向量

2.下列命题中为假命题的是(     )

A．任意两个空间向量的模能比较大小  

B．将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆

C．空间向量就是空间中的一条有向线段

D．不相等的两个空间向量的模必不相等

知识点二　空间向量的线性运算

例题

1.化简所得的结果是（       ）

A．       B．     C．     D．

2.如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1中，N是A1B的中点，若＝a，＝b，＝c，则＝(        )

  

1. (a＋b－c)           B．(a＋b＋c)        

C．a＋b＋c            D．a＋(b＋c)

3. 如图，在空间四边形中，（     ）

A．    B．    C．     D．

4. 如图，平行六面体中，与交于点，设，，，则等于（     ）

A．        B．

C．        D．

5. 如图，空间四边形OABC中，，，，点M在线段OA上，且OM=2MA，点N为BC的中点，则=（   ）

    

1.     B．

C．      D．

6.直三棱柱中，若，，，则（   ）

A.   B．   C．   D．

7.正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x、y、z的值：

（1）；

（2）。

 

知识点三　共线向量

1．空间两个向量共线的充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是                  .

2．直线的方向向量

在直线l上取非零向量a，我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的         ．

知识点四　共面向量

1．共面向量

如图，如果表示向量a的有向线段所在的直线OA与直线l        或         ，那么称向量a平行于直线l.如果直线OA         于平面α或在平面α内，那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做             ．

2．向量共面的充要条件

如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是：存在唯一的有序实数对(x，y)，使

       ______________________________        .

3. 空间一点P位于平面ABC内的充要条件：

存在有序实数对(x，y),使＝x＋y或对空间任意一点O，有＝＋x＋y.

例题

1.   下列条件中，一定使空间四点P､A､B､C共面的是（  ）

A.    B.  

C.     D.

2. 给出下列四个命题，其中是真命题的有（       ）

A．若存在实数，，使，则与，共面；

B．若与，共面，则存在实数，，使；

C．若存在实数，，使则点，，A，共面；

D．若点，，A，共面，则存在实数，，使．

3. 对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系：，则（    ）

A.四点O，A，B，C必共面

B．四点P，A，B，C必共面

C．四点O，P，B，C必共面

D．五点O，P，A，B，C必共面

4. 已知A，B，C不共线，对空间任意一点O，若＝＋＋，则P，A，B，C四点(     )

A．不共面  B．共面  C．不一定共面   D．无法判断

5. 已知向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，则一定共线的三点是(       )

1.  A，B，D          B．A，B，C  

C．B，C，D          D．A，C，D

6. 已知P为空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且＝－x＋ ，则实数x的值为(     )

A.      B．－        C.      D．－

7. 若空间中任意四点O，A，B，P满足＝m＋n，其中m＋n＝1，则(     )

A．P∈AB                        B．P∉AB   

C．点P可能在直线AB上          D．以上都不对

8. 已知A，B，C三点不共线，O是平面ABC外任一点，若由＝＋＋λ确定的一点P与A，B，C三点共面，则λ＝____．

9. 已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，＝α＋β，则α＋β=_______________．

10. 如图，四边形ABCD､ABEF都是平行四边形且不共面，M､N分别是AC､BF的中点，判断与是否共线？

 

11 已知平行四边形ABCD从平面AC外一点O引向量．

＝k，＝k，＝k，＝k．

求证：四点E，F，G，H共面

 

 

 

12. 已知，从平面外一点引向量，

（1）求证：四点共面；

（2）平面平面．

 

 

 

 

 

13. 已知向量，，不共面，，，．求证：B，C，D三点共线．

 

 

 

 

14. 已知空间向量不共面，，判断向量是否共面，并说明理由.

 

 

 

15. 已知，，三点不共线，对平面外的任一点，若点满足.

（1）判断，，三个向量是否共面；

（2）判断点是否在平面内.

 

 

 

 

 

 

 

16. 在长方体中，为的中点，在上，且，为的中点.求证：，，三点共线.

 

 

 

 

 

 

17. 设是空间中两个不共线的向量，已知，，，且三点共线，则实数______
18. 已知，，，为空间中四点，任意三点不共线，且，若，，，四点共面，则的值为（     ）

A．0       B．1        C．2       D．3

19. 已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外任意一点O，有，则A，B，C，M四点__________（填“共面”或“不共面”）．
20. 已知P，A，B，C四点共面，对空间任意一点O，若，则______.

知识点五　空间向量的夹角

1．定义：已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则               叫做向量a，b的夹角，记作〈a，b〉．

2．范围：0≤〈a，b〉≤π.

特别地，当〈a，b〉＝时，            .

知识点六　空间向量的数量积

 

知识点七　 向量a的投影

1．如图(1)，在空间，向量a向向量b投影，由于它们是自