12.3.1 角的平分线的性质 课件 2023—2024学年人教版数学八年级上册

第十二章　全等三角形 12.3.1 角的平分线的性质 目录页 讲授新课 当堂练习 课堂小结 新课导入 1.通过操作、验证等方式，探究并掌握角平分线的性质定理.（难点） 2.能运用角的平分线性质解决简单的几何问题. （重点） 学习目标 新课导入 问题1： 再打开纸片 ，看看折痕与这个角有何关系？ 对折 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两个相等的角. 你有什么办法？ A O B C 问题2：如果把前面的纸片换成木板、钢板等，还能用对折的方法得到木板、钢板的角平分线吗？ 问题3：如图，是一个角平分仪，其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线，你能说明它的道理吗? A B C (E) D 其依据是SSS，两全等三角形的对应角相等. 新课导入 讲授新课 1 尺规作角平分线 问题：如果没有此仪器，我们用数学作图工具，能实现该仪器的功能吗？ A B O 做一做：请大家找到用尺规作角的平分线的方法，并说明作图方法与仪器的关系. 提示： (1)已知什么？求作什么？ (2)把平分角的仪器放在角的两边，仪器的顶点与角的顶点重合，且仪器的两边相等，怎样在作图中体现这个过程呢? (3)在平分角的仪器中，BC=DC，怎样在作图中体现这个过程呢？ (4)你能说明为什么OC是∠AOB的平分线吗？ 讲授新课 A B M N C O 已知:∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 仔细观察步骤 注意：作角平分线是最基本的尺规作图,大家一定要掌握噢! 作法： （1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. （2）分别以点MN为圆心，大于 MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. （3）画射线OC.射线OC即为所求. 已知：平角∠AOB. 求作：平角∠AOB的角平分线. 结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法. A B O C 讲授新课 如图所示，已知∠AOB，求作：∠AOM＝ ∠AOB. 练一练 导引：要作射线OM，使∠AOM＝ ∠AOB，其实质是作 ∠AOB的平分线． A B O 讲授新课 作法： (1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点E，交OB于点F； (2)分别以点E，F为圆心，大于 EF的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C； (3)画射线OC； (4)同理，作∠AOC的平分线OM.∠AOM即为所求 (如上图所示)． 讲授新课 角平分线的性质 2 1. 操作测量：取点P的三个不同的位置，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB,点D、E为垂足，测量PD、PE的长.将三次数据填入下表： 2. 观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，写出结果：__________ PD PE 第一次 第二次 第三次 PD=PE C O B A p D E 实验：OC是∠AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点 猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 讲授新课 已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E. 求证：PD=PE. P A O B C D E 证明： ∵ PD⊥OA，PE⊥OB， ∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °. 在△PDO和△PEO中， ∠PDO= ∠PEO， ∠AOC= ∠BOC， OP= OP， ∴ △PDO ≌△PEO(AAS). ∴PD=PE. 角的平分线上的点到角的两边的距离相等 验证猜想 讲授新课 性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 应用所具备的条件： （1）角的平分线； （2）点在该平分线上； （3）垂直距离. 定理的作用： 证明线段相等. 应用格式： ∵OP 是∠AOB的平分线， ∴PD = PE 推理的理由有三个，必须写完全，不能少了任何一个. PD⊥OA,PE⊥OB， B A D O P E C 知识要点 讲授新课 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：BD＝DF. 导引：要证BD＝DF，可考虑证两线段所在的△BDE和△FDC全等，两个三角形中已有一角和一边相等，只要再证DE＝CD即可，这可由AD平分∠CAB及垂直条件证得． 例1 讲授新课 在△BDE和△FDC中， DE=CD , ∠DEB=∠C, BE=FC, ∴ △BDE≌△FDC , ∴ BD=DF . 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB于E， ∠C＝90°， ∴DE＝DC. 讲授新课