1.4空间向量的应用讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册
1.4 用空间向量解决立体几何问题
知识点一：用向量表示点、直线、平面的位置
1、用向量表示点的位置：
在空间中,我们取一定点
作为基点,那么空间中任意一点
就可以用向量
表示.我们把向量称为点的位置向量.如图.
2、直线的方向向量
如图①,
是直线
的方向向量,在直线上取
,设是直线上的任意一点,则点在直线上的充要条件是存在实数
,使得
，即
3、空间直线的向量表示式
如图,取定空间中的任意一点,可以得到点在直线上的充要条件是存在实数,使
①
或
②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式.由此可知,空间任意直线由直线上一点及直线的方向向量唯一确定.
4、用向量表示空间平面的位置
根据平面向量基本定理，存在唯一实数对
，使得
，如图；取定空间任意一点，空间一点位于平面
内的充要条件是存在实数
，
，使
.
知识点二：平面的法向量及其应用
1、平面法向量的概念
如图，若直线 
，取直线 的方向向量 ，我们称为平面
的法向量；过点
且以为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 
．
2、平面的法向量的求法
求一个平面的法向量时，通常采用待定系数法，其一般步骤如下:
设向量：设平面的法向量为
选向量：选取两不共线向量
列方程组：由
列出方程组
解方程组：解方程组
赋非零值：取其中一个为非零值（常取
)
得结论：得到平面的一个法向量.
知识点三：空间中直线、平面的平行
设直线
,
的方向向量分别为，
，平面，
的法向量分别为
，
，则
线线平行 |
|
线面平行 |
|
面面平行 |
|
知识点四：空间中直线、平面的垂直
设直线的方向向量为
，直线的方向向量为
，平面的法向量
，平面的法向量为
，则
线线垂直 |
|
线面垂直 |
|
面面垂直 |
|
知识点五：用向量法求空间距离
1、点到直线的距离
已知直线的单位方向向量为
，是直线上的定点，是直线外一点.设
，则向量
在直线上的投影向量
，在
中，由勾股定理得：
2、点到平面的距离
如图，已知平面的法向量为，是平面内的定点，是平面外一点.过点作平面的垂线，交平面于点
，则是直线的方向向量，且点到平面的距离就是在直线上的投影向量
的长度.
知识点六：用向量法求空间角
1、用向量运算求两条直线所成角
已知a，b为两异面直线，A，C与B，D分别是a，b上的任意两点，a，b所成的角为
，则
①
②
.
2、用向量运算求直线与平面所成角
设直线的方向向量为
，平面
的法向量为，直线与平面所成的角为，与的角为
，则有
①
②
.（注意此公式中最后的形式是：
）
3、用向量运算求平面与平面的夹角
如图，若
于A，
于B，平面PAB交于E，则∠AEB为二面角
的平面角，∠AEB+∠APB=180°.
若
分别为面，
的法向量
①
②
根据图形判断二面角为锐二面角还是顿二面角；
若二面角为锐二面角（取正），则
；
若二面角为顿二面角（取负），则
；
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1.下列说法中正确的是( )
A.直线的方向向量是唯一的
B.与一个平面的法向量共线的非零向量都是该平面的法向量
C.直线的方向向量有两个
D.平面的法向量是唯一的
2.若直线l过点A(-1,3,4),B(1,2,1),则直线l的一个方向向量可以是( )
A.
B.
C.
D.
3.若两个向量
=(1,2,3),
=(3,2,1),则平面ABC的一个法向量为( )
A.(-1,2,-1) B.(1,2,1) C.(1,2,-1) D.(-1,2,1)
4.若两条直线的方向向量分别是a=(2,4,-5),b=(-6,x,y),且两条直线平行,则x= ,y= .
5.若平面β外的一条直线l的方向向量是u=(-1,2,-3),平面β的法向量为n=(4,-1,-2),则l与β的位置
关系是 .
- 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.
(1)若两条直线的方向向量的数量积为0,则这两条直线一定垂直相交.( )
(2)若一直线与平面垂直,则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )
(3)两个平面垂直,则其中一平面内的直线的方向向量与另一平面内的直线的方向向量垂直.( )
(4)若两平面α,β的法向量分别为u1=(1,0,1),u2=(0,2,0),则平面α,β互相垂直.( )
7. 设平面α的法向量为(1,2,-2),平面β的法向量(-2,-4,k),若α⊥β,则k=( )
A.2 B.-5 C.4 D.-2
8.若异面直线l1,l2的方向向量分别是a=(0,-2,-1),b=(2,0,4),则异面直线l1与l2的夹角的余弦值等于( )
A.-
B. C.-
D.
9. 若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于120°,则直线l与平面α所成的角等于( )
A.120° B.60° C.150° D.30°
- 二面角α-l-β中,平面α的一个法向量为n1=
,平面β的一个法向量是n2=
,那么二面角α-l-β的大小等于( )
A.120° B.150° C.30°或150° D.60°或120°
- 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别是C1C,D1A1的中点,则点A到直线EF的距离为 .
- 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,则点B1到平面AD1C的距离为 .
例1. 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC=1,E是PC的
中点,求平面EDB的一个法向量.
跟踪训练1. 如图所示,已知四边形ABCD是直角梯形,AD∥BC,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1, AD=
,试建立适当的坐标系.
(1)求平面ABCD的一个法向量;
(2)求平面SAB的一个法向量;
(3)求平面SCD的一个法向量.
例2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AD=3,AA1=2,点P,Q,R,S分别是AA1,D1C1,AB,CC1的中点.求证:PQ∥RS.
例3.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C,B1C1的中点.求证:MN∥平面A1BD.
跟踪训练3.如图,已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, AB=
, AF=1,M是线段EF的中点.求证:AM∥平面BDE.
例4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,问:当点Q在什么位置时,平面D1BQ∥平面PAO?
跟踪训练4.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,DA=2,DC=3,DD1=4,M,N,E,F分别为棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面EFBD.
金题典例：如图,在正方体ABCD-A'B'C'D'中,求证:平面AB'D'∥平面BDC'.
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