2.4.2圆的一般方程 课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

2. 4.2 圆的一般方程 自我塑造的过程很疼 但最终你能收获一个 更好的自己！ 将圆的标准方程 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 展开，得 可见，任何一个圆的方程都可以写成下面的形式： 新知探究 结 论： 任何一个圆的方程都可以写成： 反过来， 比较圆的标准方程和圆的一般方程： 圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心和半径， 而圆的一般方程和 比较突出了方程形式上的特点： （1） x2 和 y2 的系数相同且不为0 ，即A=C≠0； （2）没有 xy 这样的二次项，即B=0 . A B 解： 设过O、A、B的圆的方程为： 则由O(0，0)、A(1，1)、B(4，2)都在圆上得， ① ② ③ 得 由①－②得： 由②－③得： ∴过O、A、B圆方程为 例2.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标. 将C(7，1)代入方程： 成立. ∴ O、A、B、 C 四点共圆， C y x O 解2： 设过O、A、B的圆方程为 则 ∴过O、A、B的圆方程为: 例2.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标. A B C y x O 将C(7，1)代入方程： 成立. ∴ O、A、B、 C 四点共圆， 解3： ∴过O、A、B的圆方程为 由已知得，线段 OA、OB 的中点坐标分别为 斜率为： ∴ 线段 OA、OB 中垂线方程分别为 解方程组得： 例2.判断 O(0，0)、A(1，1)、B(4，2) 、 C(7，1)四点是否共圆，若共圆，求出圆的半径和圆心坐标. A B C y x O C 说明：一般地，求圆的方程有两种方法： （1） 待定系数法：即设出圆的标准方程或一般方程， 利用条件求系数 . （2） 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解 . 例3 已知一圆过 <m></m> ， <m></m> 两点，且在 <m></m> 轴上截得的 线段长为 <m></m> ，求圆的方程. [解析] （法一）设圆的方程为 <m></m> ， 将 <m></m> ， <m></m> 的坐标分别代入上式，得 <m></m> 令 <m></m> ，得 <m></m> ， ③ 由已知得 <m></m> ，其中 <m></m> ， <m></m> 是方程③的根， <m> </m> . ④ 联立①②④解得 <m></m> 或 <m></m> 故圆的方程为 <m></m> 或 <m></m> . （法二：几何法）由题意得线段 <m></m> 的垂直平分线方程为 <m></m> ， ∴所求圆的圆心 <m></m> 在直线 <m></m> 上， 设其坐标为 <m></m> . 又圆 <m></m> 的半径长 <m></m> . ⑤ 由已知得圆 <m></m> 截 <m></m> 轴所得的线段长为 <m></m> ， 而圆心 <m></m> 到 <m></m> 轴的距离为 <m></m> ， <m></m> ， 代入⑤式整理得 <m></m> ， 解得 <m></m> ， <m></m> ， <m></m> ， <m></m> . 故所求圆的方程为 <m></m> 或 <m></m> . 小 结 ： （1）任何一个圆的方程都可以写成： （2）利用待定系数法求圆的方程 （3） 一般地，求圆的方程有两种方法： ① 待定系数法:即设出圆的标准方程或一般方程,利用条件求系数 . ② 几何分析法：即利用平面几何中的有关性质求解 . 课后作业 2. 《导学》 2.4.2 1. 教材第88页 练习T1-3 1. 教材第88页 习题2.4T1,2(2),3,4 变式．若方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圆，则a的取值范围是________． 解析：方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0可化为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(a,2)))2＋(y＋a)2＝－eq \f(3,4)a2－a＋1，因为该方程表示圆，所以－eq \f(3,4)a2－a＋1>0，即3a2＋4a－4<0，所以－2<a<eq \f(2,3). 答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(2,3))) $$