2.7 二次根式 第2课时 二次根式的运算 课件 2023-2024学年北师大版八年级数学上册

2.7 二次根式 第二章 实数 第2课时 二次根式的运算 1. 满足什么条件的根式是最简二次根式?试化简下列二次 根式: 2. 上述化简后的二次根式有什么特点? 你会怎么对它们 进行分类? 某些二次根式化简后被开方数相同. 为一组; 为一组. 还记得吗? 二次根式的两个性质 (a≥0,b≥0), (a≥0,b>0). 二次根式的乘法法则和除法法则 (a≥0,b≥0), (a≥0,b>0). 二次根式的乘除运算 现在把等号的左边与右边交换,就可得到 3 典例精析 例1 计算: 例2 计算: 解: 只需其中两个结合就可实现转化进行计算,说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘,即 . 归纳 可先用乘法结合律,再运用二次根式的乘法法则 例3 计算: 解: 当二次根式根号外的因数不为 1 时,可类比单项式乘单项式的法则计算,即 . 归纳 问题 你还记得单项式乘单项式法则吗? 试回顾如何计算 3a2·2a3 = . 6a5 提示:可类比上面的计算哦! 二次根式的乘法法则的推广: 归纳总结 多个二次根式相乘时此法则也适用,即 当二次根号外有因数(式)时,可以类比单项式乘单 项式的法则计算,即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式),被开方数(式)的积作为被开方数(式),即 同样,二次根式也可以进行加减运算,以前学过的实数的运算法则、运算律仍然适用。 发 现 (2)x2 + 2x2 + 4y = . 1.(1)3x2 + 2x2 = ; 2.类比合并同类项的方法,想想如何计算: 解: 3. 能不能再进行计算?为什么? 答:不能,因为两个加数都是最简二次根式,被开方数不相同,所以不能合并. 5x2 3x2 + 4y 合作探究 二次根式的加减运算 解:(1)原式 = 例4 计算: (2)原式 = (3)原式 = (4)原式 = 解:(5)原式 = (6)原式 = 对于化简运算的结果中,如果被开方数相同的根式,应当将这些项合并。 练一练 1. 下列二次根式中,能与 合并的是( ) A. B. C. D. D 2. 与最简二次根式 能合并,则 m =_. 1 3. 下列二次根式,不能与 合并的是_ (填 序号). ②⑤ 归纳总结 二次根式的加减法法则 一般地,二次根式相加减时,可以先将各个二次根式化成最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合并. 要点提醒 1. 加减法的运算步骤:“一化简二判断三合并”. 2. 合并的前提条件:只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并. 化为最简 二次根式 用分配 律合并 整式 加减 二次根 式性质 分配律 整式加 减法则 依据:二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则. 基本思想:把二次根式加减问题转化为整式加减问题. 解:(1)原式 = 例5 计算: (2)原式 = (3)原式 = 例6 若最简根式 与 可以合并,求 的值. 解:由题意得 解得 即 确定可以合并的二次根式中字母取值的方法:利用被开方数相同,指数都为 2 ,列关于待定字母的方程求解即可. 归纳 【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并,那么要使式子 有意义,求 x 的取值范围. 解:由题意得 3a - 8 = 17 - 2a, ∴ a = 5. ∴ ∴ 20 - 2x≥0,x - 5>0. ∴ 5<x≤10. 分析:(1)若几个非负式的和为零,则这几个非负式必然都为零;(2)根据三角形的三边关系来判断. 例7 已知 a,b,c 满足 . (1) 求 a,b,c 的值; (2) 以 a,b,c 为三边长能否构成三角形?若能构成 三角形,求出其周长;若不能,请说明理由. 解:(1) 由题意得 (2) 能. 理由如下:∵ 即 a<c<b. 又∵ ∴ a + c>b. ∴ 能够成三角形,周长为 【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为 ,求其周长. 解: 当腰长为 时, ∵ ∴ 此时能构成三角形,周长为 当腰长为 时, ∵ ∴ 此时能构成三角形,周长为 二次根式的加减与等腰三角形的综合运用,关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小. 归纳 1. 计算: 随堂练习 2. 下列计算是否正确? × × × 1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立. ( )=10; ( )= 4; 2. 下列计算正确的是( ) A. B. C. D. B 24 解: (1)原式 = 3. 计算: (2)原式 = (3)原式 = 4. 已知 x + y = -4,xy = 2. 求 的值. 解: 原式= 把 x + y = -4,xy = 2 代入上式,得原式= 解: 5. 计算: 解: 6. 下图是某土楼的平面剖面图,它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2,求圆环的宽度 d(π