极值与最值讲义-2024届高三数学二轮专题复习

极值与最值

考点1 极值与最值

1．函数的极值

函数在点附近有定义，如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作．如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称为极值，称为极值点．

求函数的极值的三个基本步骤 ①求导数；②求方程的所有实数根；③检验在方程的根左右的符号，如果是左正右负（左负右正）（注意数形结合分析），则在这个根处取得极大（小）值．

2．最值的判断法则 

函数最大值为极大值与靠近极小值的端点之间的最大者；函数最小值为极小值与靠近极大值的端点之间的最小者．

间隔最值定理 导函数为      

（1）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

（2）当时，最大值是与中的最大者；最小值是与中的最小者．

一般地，设是定义在上的函数，在内有导数，求函数在上的最大值与最小值可分为两步进行：

（1）求在内的极值（极大值或极小值）；

（2）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．

考点一 极值与最值

1、已知函数的定义域为且导函数为，如图是函数的图象，则下列说法正确的是（　　）

A．函数的减区间是， B．函数的减区间是，

C．是函数的极小值点                 D．是函数的极小值点

2、函数的极值点是　   　．

 

3、函数在处有极值，则的值是         ．

 

4、 已知函数，为的导函数．

(1)              当时，

(ⅰ)求曲线在点处的切线方程；

(ⅱ)求函数的单调区间和极值；

 

 

 

 

 

5、已知函数．

（1）求曲线在点，处的切线方程；

（2）求函数在区间，上的最大值和最小值．

 

 

 

 

6、若是函数的极值点，则为（   ）

A． B． C．或 D．或

 

7、设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则导函数的图象为　　

A．    B．  C． D．

 

8、函数的极大值为　   　．

 

9、若函数无极值点，则实数的取值范围是　   　．

 

10已知函数，则的最小值是　   　．

 

考点2 恒能分问题

1、若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（　　）

A．     B． C． D．

 

2、已知函数，对任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（　　）

A．     B． C． D．