2.2 基本不等式 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 【素养目标】 1．了解基本不等式的代数和几何背景．(数学抽象) 2．理解并掌握基本不等式及其变形．(逻辑推理) 3．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(数学运算) 4．会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式．(逻辑推理) 5．会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题．(数学运算) 4个全等的直角三角形面积和为2ab 正方形ABCD的面积为 图中的相等与不等关系有： 在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形 四个全等的直角三角形的面积的和小于正方形ABCD的面积 …… 设直角三角形的两条直角边的长为a，b（a≠b），那么正方形的边长为 . 4 一般地，对于任意实数a，b，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立. 重要不等式 5 当且仅当a=b时，等号成立。 定理 重要不等式： 公式 思考：你能给出不等式 的证明吗？ 证明：（作差法） 当且仅当a=b 时等号成立 定理 重要不等式： 证明 定理 重要不等式： ， 当且仅当时，等号成立 ， 当且仅当时，等号成立 变形式 当且仅当a=b时，等号成立。 替换后得到： 即： 即： 当且仅当a=b时,等号成立. 定理 基本不等式 均值不等式 定理 基本不等式 均值不等式 一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立. 基本不等式： a,b的算术平均数 a,b的几何平均数 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 公式 定理 基本不等式 均值不等式 ， 当且仅当时，等号成立 ， 当且仅当时，等号成立 变形式 11 证明: 例 已知a,b,c都是整数，求证： 当且仅当a=b时，等号成立； 当且仅当b=c时，等号成立； 当且仅当c=a时，等号成立； 当且仅当a=b=c时，等号成立；即证原不等式成立. 定理 基本不等式 均值不等式 名称 定理1：重要不等式 定理2：基本不等式 表达式 文字叙述 适用范围 “=”成立条件 a=b a=b a,b∈R a>0,b>0 两实数的平方和不小于它们积的2倍 两正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 新课讲授 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式。能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下。 新课讲授 要证：① 只要证：② 要证②，只要证： ③ 要证③，只要证：④ 要证④，只要证： 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立。 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了。 如图，可证 因而由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 基本不等式的几何意义 基本不等式 1.已知，求的最小值. 解：因为，所以， 当且仅当，即，时，等号成立， 因此所求的最小值为2. 一正：各项必须为正 二定：各项之和或各项之积为定值 三相等：必须验证取等号时的条件十分具备 基本不等式 2.已知，求的最值. 解：因为，所以 ， 当且仅当，即时，等号成立， 因此所求的最大值为 一正 二定 三相等 基本不等式 3. 求函数 (x＞ -1) 的最小值. 凑配法 当且仅当即=0 取“=”号. . 解: ∵ ＞-1，∴>0. ∴当 =0 时， 函数 f(x) 的最小值是 1 配凑系数 解: ，∴. ∴ 4. 若 ，求函数 的最大值. 基本不等式 当且仅当 时，取“=”号. 的最大值为 分析: 不是 常数.而 为常数 ①当时，，， 当且仅当时，等号成立. ②当时，， 当且仅当时，等号成立. 基本不等式 最值定理 基本不等式 分式形函数的最值求法 基本不等式 “1”的代换 当且仅当时，即 例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (1)由已知得 由， 可得 ∴ 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为 例1 (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形菜园的相邻两条边的长分别为篱笆的长度为 (2)由已知得矩形菜园的面积为 由 可得 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，菜园面积最大，最大面积是. 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水