2.2 基本不等式第一课时 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式第1课时 第二章等式性质与不等式性质 学习目标 1.能够推导并掌握基本不等式，理解基本不等式的几何意义,并掌握不等式中“≥”取等号的条件； 2.掌握基本不等式 ；会应 用基本不等式求一些函数的最值能够解决一些简单的实际问题 3.核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算. 在不等关系与不等式一节，我们由赵爽弦图(如下左图)抽象出了一类重要不等式： a2+b2≥2ab ① 不难发现，公式①中，a、b∈R, 当且仅当a=b时等号成立. a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① a×a+b×b a×b+b×a ≥ 二次式 二次式 自乘的和 互乘的和 不小于 如果把两个数相乘看成一次合作“圈地”(如图)，那么公式 ①折射出生活的哲理： 自立自强比互相合作更重要！ 重要不等式 a a b b 特别地： a2+b2≥2ab (a、b ∈R，当a=b时取等号) ① 重要不等式 当b=1时，有a2+1≥2a(a∈R) （降次功能） 当b=时，有a2+≥2(a≠0) （消元功能） 求证：a2+b2+c2≥ab+bc+ca (a、b、c ∈R) 练一练 提示：a2+b2≥2ab b2+c2≥2bc c2+a2≥2ca 我们再次回忆一下重要不等式： 设a,b是任意实数，则a2+b2≥2ab 当且仅当a＝b时，等号成立. 请大家猜想一下，我们会得到怎样的式子？ 如果我们用分别代替上式中的， 得当且仅当时，等号成立。 7 如果我们用分别代替上式中的，可得 当且仅当时，等号成立。这样的式子为基本不等式 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 叫做正数的算术平均数 叫做正数 的几何平均数 8 证明： 要证 ① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 显然④是成立的. 当且仅当a=b时，④中的等号成立. 分析法 一般地，对于任意实数a,b>0，我们有 ，当且仅当a=b时，等号成立. 定理 基本不等式 均值不等式 9 新知探索 在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 已知x>0，求 的最小值. 解： 当且仅当 ， 即x=1时，等号成立 已知>0，求 的最小值. 因为x>0， 所以 当且仅当 ， 即 时，等号成立 解： 配凑法 解： 例 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 一“正” 二“定” 三“相等” 利用基本不等式求最值时，要注意： 例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少? 解 (1)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， 篱笆的长度为. 由已知得:. 由得: 所以, 当且仅当时,等号成立. 因此,当这个矩形为边长为的正方形时,所用篱笆最短,且最短长度为. (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少? 解 (2)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， 篱笆的长度为. 由已知得:. 由得: 所以, 当且仅当时,等号成立. 因此,当这个矩形为边长为的正方形时,菜园面积最大,且最大面积为. 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为深为如果池底每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 解 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为,水池总造价为. 由题意知: . 因此: 由容积为得:, 所以: 某工厂要建造一个长方体