考点12 最短路径问题的10大类型-【考点通关】2023-2024学年八年级数学上册考点归纳与解题策略（人教版）

考点12 最短路径问题的10大类型 【问题背景】 早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题． 将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今． 【问题原型】将军饮马 造桥选址 费马点 【涉及知识】两点之间线段最短，垂线段最短；三角形两边三边关系； 轴对称 ；平移； 【解题思路】找对称点，实现折转直。 常见模型 1.两定一动型：两定点到一动点的距离和最小。 类型1：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小. 作法：连接AB，与直线l的交点Q， Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处， PA+PB最小，且最小值等于AB. 原理：两点之间线段最短。 类型2：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小， 即PA+PB的和最小. 作法：作定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB和最小，且最小值等于AC. 原理：两点之间，线段最短 2.两动一定型 类型3：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得△BAC周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点A关于ON的对称点A’’ ，连接A’ A’’，与OM交于点B，与ON交于点C，连接AB，AC，△ABC即为所求． 类型4：在∠MON的内部有点A和点B，在OM上找一点C，在ON上找一点D，使得四边形ABCD周长最短． 作法：作点A关于OM的对称点A’，作点B关于ON的对称点B’ ，连接A’ B’，与OM交于点C，与ON交于点D，连接AC，BD，AB，四边形ABCD即为所求． 3. 两定两动型最值 类型5：已知A、B是两个定点，在定直线l上找两个动点M与N，且MN长度等于定长d（动点M位于动点N左侧），使AM+MN+NB的值最小. 提示：存在定长的动点问题一定要考虑平移 作法一：将点A向右平移长度d得到点A’， 作A’关于直线l的对称点A’’，连接A’’B，交直线l于点N，将点N向左平移长度d，得到点M。 作法二：作点A关于直线l的对称点A1，将点A1向右平移长度d得到点A2，连接A2 B， 交直线l于点Q，将点Q向左平移长度d，得到点Q。 类型6：（造桥选址）直线l1∥l2，在直线l1上找一个点C，直线l2上找一个点D，使得CD⊥l2, 且 AC＋BD＋CD最短． 作法：将点A沿CD方向向下平移CD长度d至点A’，连接A’B，交l2于点D，过点D作DC⊥l2于点C，连接AC．则桥CD即为所求．此时最小值为A’B+CD 4. 垂线段最短型 类型7：在∠MON的内部有一点A，在OM上找一点B，在ON上找一点C，使得AB＋BC最短． 点A是定点，OM，ON是定线， 点B、点C是OM、ON上要找的点，是动点． 作法：作点A关于OM的对称点A’，过点A’作A’C⊥ON， 交OM于点B，B、C即为所求。 类型8：在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之差最小，即|PA-PB |最小. 作法：连接AB，作AB的中垂线与l的交点，即为所求点P 此时|PA-PB |=0 类型9：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB |最大 作法：延长BA交l于点C，点C即为所求， 即点B、A、C三点共线时，最大值为AB的长度。 类型10：在定直线l上找一个动点C，使动点C到两个定点A与B的距离之差最大，即|PA-PB|最大 作法：作点B关于l的对称点B，连接AB， 交交l于点P即为所求，最大值为AB的长度。 考点1 两定一动型 考点2.两动一定型 考点3. 两定两动型最值 考点4. 垂线段最短型 考点1 两定一动型 1．（2022秋·河南驻马店·八年级统考期中）如图，在中，的垂直平分线分别交边于点、，点为上一动点，则的最小值是以下哪条线段的长度（   ）      A． B． C． D． 2．（2023春·山东济南·七年级统考期末）如图，等腰的底边，面积为，腰的垂直平分线分别交于点E、F，若D为边的中点，M为线段上一动点，则周长的最小值为多少？（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 3．（2022秋·新疆昌吉·八年级校考期中）如图，在中，，，，，垂直平分，点P为直线上的任一点，则的最小值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 4．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）如图，正方形网格中有M、N两点，在直线上求点P使最短，则点P应选在（   ）