2.4.2圆的一般方程课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程 2.4.2圆的一般方程 探究新知 圆方程的一般代数形式是什么特点呢？ 思考 展开得 结论：任何一个圆方程可以写成下面形式： 2 2 是不是任何一个形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0的方程表示的曲线都是圆呢？ 尝试： 判断下列方程分别表示什么图形？ 圆 圆心为(1,-2), 半径为2 点(1, 2) 不表示任何图形 (3)x2+y2-2x-4y+6=0 (1)x2+y2-2x+4y+1=0 (2)x2+y2-2x-4y+5=0 由此可知：形如 x2 ＋y 2＋Dx＋Ey＋F＝0 的方程表示不一定都表示圆. 探究 方程（2）中的D，E，F满足什么条件时这个方程表示圆？ 探究 对配方，得 ①. (1)当时，比较方程①和圆的标准方程，可以看出方程(2)表示以()为圆心，为半径的圆; (2)当时，方程(2)只有实数解，，它表示一个点(); (3)当时，方程(2)没有实数解,它不表示任何图形. 因此，当时，方程表示一个圆. 我们把方程叫做圆的一般方程. 概念生成 圆的一般方程与标准方程的关系： (1)a= ，b= ，r= 没有xy这样的二次项 (2)标准方程易于看出圆心与半径, (3)一般方程突出形式上的特点： x2与y2系数相同并且不等于0； 圆的标准方程: (x-a)2+(y-b)2=r2 圆的一般方程 6 圆的一般方程的判断 7 圆的一般方程的判断 8 圆的一般方程 D A 9 圆的一般方程的判断 10 圆的一般方程的判断 11 求圆的一般式方程 13 求圆的一般式方程 14 求圆的一般式方程 15 求圆的一般式方程 16 求圆的一般式方程 17 (1)已知A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)，则△ABC的外接圆的方程是 ______________________. x2＋y2－8x－2y＋12＝0 解析　设△ABC外接圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 即△ABC的外接圆方程为x2＋y2－8x－2y＋12＝0. 跟 踪 训 练 　 (2)圆心在直线y＝x上，且经过点A(－1,1)，B(3，－1)的圆的一般方程是____________________. x2＋y2－4x－4y－2＝0 解析　设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 解得D＝E＝－4，F＝－2， 即所求圆的一般方程是x2＋y2－4x－4y－2＝0. 跟 踪 训 练 轨迹方程 点M的轨迹方程是指点M的坐标(x，y)满足的关系式.一般求哪个点的轨迹方程 ，设哪个点即可； 轨迹是指点M在运动变化过程中形成的图形。 21 l l 1.已知平面直角坐标系中两点 ， 动点P满足 则点P的轨迹方程是___________， 轨迹为_________. 解：轨迹方程为 ，其轨迹是圆. 直接法 关于圆的轨迹问题 24 解:设点M的坐标是(x，y)，点A的坐标是（)．由于点B的坐标是（4，3)，且M是线段AB的中点，所以，. 于是有， ①. 因为点A在圆上运动，所以点A的坐标满足圆的方程，即 ②. 把①代入②,得，整理， 得. 这就是点M的轨迹方程，它表示以()为圆心,半径为1的圆 例5已知线段AB的端点B的坐标是(4，3)，端点A在圆上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程. 求轨迹方程的三种常用方法 (1)直接法：根据题目条件，建立坐标系，设出动点坐标，找出动点满足的条件，然后化简、证明； (2)定义法：当动点的运动轨迹符合圆的定义时，可利用定义写出动点的轨迹方程； (3)代入法：若动点P(x，y)依赖于某圆上的一个动点Q(x1，y1)而运动，把x1，y1用x，y表示，再将Q点的坐标代入到已知圆的方程中，得点P的轨迹方程． 答案：　(1)√　(2)×　(3)× 例1：判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆的标准方程与一般方程可以互化．(　　) (2)方程x2＋y2－3x＝0不是圆的一般方程．(　　) (3)方程x2＋y2－x＋y＋1＝0表示圆．(　　) x2与y2的系数不相同，故原方程不能表示圆； 含有xy项，故原方程不能表示圆； D2＋E2－4F＝1－8＝－7<0，故原方程不能表示圆； 圆心坐标为 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))) ，即 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0)) ，半径r＝ eq \f(1,2) eq \r(D2＋E2－4F) ＝ eq \f(1,2) . D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，故原方程不能表示圆．