4.2 一次函数与正比例函数（同步课件）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 八年级上册 第四章 一次函数 2 一次函数与正比例函数 学习目标 1.理解一次函数和正比例函数的概念，能辨别一次函数与正比例函数的区别与联系；（重点） 2.能根据所给条件写出简单的一次函数表达式；（难点） 3.经历从实际问题中得到函数关系这一过程，发展抽象思维能力和数学应用能力。 3.函数y=中，自变量x的取值范围是 . 复习回顾 1.函数的概念是什么？ 一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，其中x是自变量. 2.表示函数的方法一般有： 、 、 . 图象法 列表法 关系式法 x≥2 一、创设情境，引入新知 (2)写出y与x之间的关系式，y是x的函数吗？ y=3+0.5x，y是x的函数。 某弹簧的自然长度为3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量x每增加1千克，弹簧长度y增加0.5 cm. (1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg, 2 kg, 3 kg, 4 kg, 5 kg 时的长度，并填入下表： x/kg 0 1 2 3 4 5 y/cm 3 3.5 4 4.5 5 5.5 这样的函数有什么特点呢？ 二、自主合作，探究新知 做一做：某辆汽车油箱中原有油60 L,汽车每行驶50 km耗油6 L. (1) 完成下表： 汽车行使路程x/km 0 50 100 150 200 300 油箱剩余油量y/L 60 54 48 42 36 24 (3) 你能写出油箱剩余油量z(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ z=60－0.12x (2) 你能写出耗油量y(L)与汽车行驶路程x(km)之间的关系式吗？ y=0.12x 探究：一次函数与正比例函数 每行驶1km耗油0.12L 二、自主合作，探究新知 观察上面的三个函数关系式: (1)y=3+0.5x (2) y=0.12x (3) z=60－0.12x 讨论一下这三个函数关系式有什么共同点? (1)都是含有两个变量的等式； (2)变量的次数都是一次； (3)自变量x的系数都不为0. 共同特点： 二、自主合作，探究新知 若两个变量 x、y之间的关系可以表示成y=kx+b(k,b为常数，k≠0）的形式，则称 y是x的一次函数. 特别地，当b=0时，称y是x的正比例函数. 一次函数的结构特征：(1) k≠0； (2) 自变量x的次数是1； (3) 常数项b可以为一切实数. 知识要点 即y=kx(k为常数，且k≠0） 注意：正比例函数是一种特殊的一次函数，但一次函数不一定是正比例函数。 下列关系式中，是一次函数的有 ，是正比例函数的有 . ①y＝－x－4; ②y＝5x2－6； ③y＝2πx; ④; ⑤; ⑥y＝8x2＋x(1－8x) 二、自主合作，探究新知 解：⑥∵y＝8x2＋x(1－8x)=8x2＋x－8x2=x， ∴⑥是一次函数，也是正比例函数． 跟踪练习 ①③④⑥ ③④⑥ 注意：判断一个函数是否是一次函数，必须将其化成最简形式。 二、自主合作，探究新知 例1：写出下列各题中y与 x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ （1）汽车以60km/h的速度匀速行驶,行驶路程为y(km)与行驶时间x(h)之间的关系; 解：由路程=速度×时间，得y=60x ,y是x的 一次函数,也是x的正比例函数. 解：由圆的面积公式，得y=πx2, y不是x的正比例函数，也不是x的一次函数. （2）圆的面积y (cm2 )与它的半径x (cm)之间的关系. 典型例题 二、自主合作，探究新知 解：这个水池每时增加5m3水，x h增加5x m3水， 因而 y=5x+15, y是x的一次函数，但不是x的正比例函数. （3）某水池有水15m3，现打开进水管进水，进水速度为5m3/h，x h后这个水池有水y m3. 二、自主合作，探究新知 列一次函数关系式的步骤： （1）寻找等量关系，可以直接将公式当做等量关系； （2）用字母表示自变量及函数，根据等量关系列出等式； （3）将等式变形，写成一次函数的一般形式. 知识要点 注意:对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 二、自主合作，探究新