3.2.2奇偶性课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册

3.2.2 奇偶性 制作人:王汉芹 日期:2023.09 1 学习目标 1.通过具体实例,经历函数奇偶性概念的抽象过程,能准确抽象出奇函数、偶函数的定义; 2.能用奇偶性的定义判断函数的奇偶性,并总结一般步骤,发展逻辑推理、数学运算素养; 3.能将奇偶性与函数函数对称性进行转化,体会奇偶性可以简化函数性质的研究. 重点、难点 重点:函数奇偶性的定义及判断; 难点:用符号语言表达函数的奇偶性. 2 创设情境,导入新课 之前我们已经研究了函数的单调性、最值等性质,并抽象出了符号语言描述、证明,下面继续研究函数的其他性质. 3 师生互动,探索新知 问题1:请同学们动手画出 和 的图象,你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 图象关于y轴对称 4 师生互动,探索新知 问题2:类比函数的单调性,你能用符号语言精确地描述“函数图象关于y轴对称”这一特征吗? x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … f(x)=x2 … … 9 4 1 0 1 4 9 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 … g(x)=2-|x| … … -1 0 1 2 1 0 -1 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值相等 f(-1)=1=f(1) f(-2)=4=f(2) f(-3)=9=f(3) 例如对于函数f (x)=x2,有 f(-x)= x y o 1 2 3 4 5 -1 1 2 3 -1 -2 -3 偶函数 5 停顿 师生互动,探索新知 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果x,且f(-x)=f(x), 那么函数f(x) 就叫做偶函数. 偶函数 偶函数的图象关于y轴对称, 反之,图象关于y轴对称的函数为偶函数. 说明-x、x必须同时属于定义域即偶函数的定义域要关于原点对称. 偶函数的图象特征: 思考1:定义中“x,”说明了什么? 6 师生互动,探索新知 图象关于原点对称 问题3:观察函数 和 的图象,你能发现这两个函数有什么共同特征吗?你能用符号语言精确地描述一下这一特征吗? 7 师生互动,探索新知 x -3 -2 -1 0 1 2 3 f (x)=x 0 1 2 3 -1 -2 -3 1 -1 - - 可以发现,当自变量取一对相反数时,相应的两个函数值也是一对相反数。 例如对于函数f (x)=x,有 奇函数 8 师生互动,探索新知 一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果x 且f(-x)= - f(x), 那么函数f(x)就叫做奇函数. 奇函数 奇函数的图象关于原点对称, 反之,图象关于原点对称的函数为奇函数. 奇函数的图象特征: 与偶函数一样,奇函数的定义域也要关于原点对称. 9 师生互动,探索新知 思考2:对比奇函数和偶函数的定义和图象,它们有什么区别与联系? 联系:奇函数和偶函数的定义域都要关于坐标原点对称,若不满足此条件,则函数即非奇函数也非偶函数; 区别: 10 学以致用,巩固新知 例1:判断下列函数的奇偶性: 解:(1)函数f(x)=x4的定义域是R.因为对于任意的x∈R, 都有f(-x)=(-x)4 =x4= f(x),所以函数f(x)=x4是偶函数. (2)函数f(x)= x5的定义域是R.因为对于任意的x∈R,都有 f(-x)=(-x)5 = -x5 = -f(x),所以函数f(x)= x5是奇函数. (3)函数 =x+ 的定义域是 {x|x} .因为对于任意的 x{x|x} , 都有 =-x = -(x )=- , 所以函数 =x+ 是奇函数。 (4)函数 = 的定义域是{x|x} . 因为对于任意的 x{x|x} , 都有 == = , 所以函数 =是偶函数. 11 学以致用,巩固新知 根据定义判断函数的奇偶性的步骤: 判断函数的奇偶性的方法: (1)先求定义域,看是否关于原点对称 若定义域不关于原点对称,则函数 _ _ (2)若定义域关于原点对称,再判断f (-x)与f (x)的关系: ① 若f (-x)=f (x),则函数为_; ②若f (-x)=-f (x),则函数为_; ③若f (-x)=f (x),且f (-x)=-f (x)则函数_; ④若f (-x)=f (x),则函数为_; 图象法、定义法 既非奇函数,又非偶函数 偶函数 奇函数 既是奇函数又是偶函数 既非奇函数,又非偶函数 12 学以致用,巩固新知 思考3:(1)判断函数 的奇偶性。 (2)如图,是函数 图象的一部分, 你能根据函数的奇偶性 画出它在y轴左边的图象吗? (3)一般地,如果知道函数为偶(奇)函数,那么 我们可以怎样简化对它的研究? 13 反思小结,观点提炼 ④还有哪些疑惑? 判断函数的奇偶性