第十一章 第8节 离散型随机变量的均值与方差-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第8节　离散型随机变量的均值与方差 [考试要求] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的均值、方差的概念. 2.会求简单离散型随机变量的均值、方差,并能利用离散型随机变量的均值、方差概念解决一些简单实际问题. 课前预习 巩固主干知识 1.离散型随机变量的均值 (1)概念:一般地,若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)= 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的 . (2)性质:若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量,随机变量X的数学期望是E(X),则E(Y)= . x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 平均水平 aE(X)+b 2.离散型随机变量的方差 (1)概念:设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 平均偏离程度 (2)性质:D(aX+b)= . a2D(X) 3.两点分布与二项分布的均值、方差 分布 均值 方差 两点分布 E(X)=p D(X)=p(1-p) 二项分布 E(X)=np D(X)=np(1-p) [重要结论] 1.均值与方差的四个常用性质 (1)E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数. (2)E(X1+X2)=E(X1)+E(X2). (3)D(X)=E(X2)-[E(X)]2. (4)若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)期望是算术平均数概念的推广,与概率无关.(　　) (2)方差也是一个常数,它不具有随机性,方差的值一定是非负数.(　　) (3)随机变量的均值是常数,样本的平均值是随机变量.(　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度,方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小.(　　) × √ √ √ 2.(教材改编题)随机变量X的分布列是 D A 4.(2022·浙江卷)现有7张卡片,分别写上数字1,2,2,3,4,5,6.从这7张卡片中随机抽取3张,记所抽取卡片上数字的最小值为ξ,则P(ξ=2)=　　 　　, E(ξ)=　　　　.  课堂突破 提升素养能力 考点一　离散型随机变量的均值与方差 (1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率; (2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ(单位:元),求ξ的分布列,数学期望E(ξ)与方差D(ξ). 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义,写出X的全部可能取值. (2)求X取每个值的概率. (3)写出X的分布列. (4)由均值的定义求E(X). (5)由方差的定义求D(X). 提醒:注意E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X)的应用. [素能演练1] (2022·北京丰台区一模)为研究某地区2022届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查公司从该地区2022届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查,结果如下: 毕业 去向 继续学 习深造 单位 就业 自主 创业 自由 职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2022届大学毕业生选择的毕业去向相互独立. (1)从该地区2022届大学毕业生中随机选取3人,记随机变量X为这3人中选择“继续学习深造”的人数.以样本的频率估计概率,求X的分布列和数学期望; [素能演练1] (2022·北京丰台区一模)为研究某地区2022届大学毕业生毕业三个月后的毕业去向,某调查公司从该地区2022届大学毕业生中随机选取了1 000人作为样本进行调查,结果如下: 毕业 去向 继续学 习深造 单位 就业 自主 创业 自由 职业 慢就业 人数 200 560 14 128 98 假设该地区2022届大学毕业生选择的毕业去向相互独立. (2)该公司在半年后对样本中的毕业生进行再调查,发现仅有选择“慢就业”的毕业生中的a(0<a<98)人选择了表中其他的毕业去向,记此时表中五种毕业去向对应人数的方差为s2,当a为何值时,s2最小(结论不要求证明)? 解:(2)易知五种毕业去向的人数的平均数为200,要使方差最小,则数据波动性越小,故当自主创业和慢就业人数相等时方差最小,所以a=42. 考点二　二项分布的均值与方差 (1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率; (2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及均值. 求二项分布的期望与方差的方法 (1)如果ξ～B(n,p)