第三章 压轴专攻(一) 恒成立问题与有解问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

压轴专攻(一)　恒成立问题与有解问题 用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数,或构造新函数分类讨论,将不等式问题转化为函数的最值问题. 课堂突破 提升素养能力 考点一　分离参数法求参数范围 一般地,若a>f(x)对x∈D恒成立,则只需a>f(x)max;若a<f(x)对x∈D恒成立,则只需a<f(x)min.若存在x0∈D,使a>f(x0)成立,则只需a>f(x)min;若存在x0∈D,使a<f(x0)成立,则只需a<f(x)max.由此构造不等式,求解参数的取值范围. [素能演练1] (2023·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x-1).当x>0时,函数f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 考点二　等价转化法求参数范围 [例3] 已知函数f(x)=ex-1-ax+ln x(a∈R).若不等式f(x)≥ln x-a+1对一切x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. [例4] (2023·青海西宁模拟)已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R),若存在x∈ (1,+∞),f(x)>-a,求a的取值范围. 根据不等式恒成立(有解)求参数取值范围的关键是将恒成立(有解)问题转化为最值问题,如f(x)≥a恒成立,则f(x)min≥a,然后利用最值确定参数满足的不等式,解不等式即得参数的取值范围. [素能演练2] 设函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0时,f(x)≤ax+1,求实数a的取值范围. 解:令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),x∈[0,+∞),可知g(0)=0. g′(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=(1-x2-2x)ex-a,则h′(x)=-(x2+4x+1)ex, 当x≥0时,h′(x)<0,h(x)在[0,+∞)上单调递减,故h(x)≤h(0)=1-a,即g′(x)≤1-a, 要使g(x)≤0在x≥0时恒成立,需要1-a≤0,即a≥1,此时g′(x)≤0,g(x)在[0,+∞)上单调递减,g(x)≤g(0)=0,故a≥1. 综上所述,实数a的取值范围是[1,+∞). 考点三　拆解法求参数的取值范围 “双变量”的恒(能)成立问题可以拆解题设中的不等式,进行等价变换,常见的拆解转换有 (1)∀x1,x2∈D,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max. (2)∀x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min. (3)∃x1∈D1,∀x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max. (4)∃x1∈D1,∃x2∈D2,f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)min. (1)求函数f(x)的单调区间; (2)若∀x1,x2∈[0,4],不等式|f(x1)-f(x2)|<1恒成立,求实数a的取值范围. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [例1] 已知函数f(x)=(x-2)ex-ax2+ax(a∈R).当x≥2时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. 解:由题意,当x≥2时,(x-2)ex-ax2+ax≥0恒成立,等价于(-x)a≤(x-2)ex在[2,+∞)上恒成立.当x=2时,0·a≤0,所以a∈R. 当x>2时,-x>0,所以a≤=恒成立.设g(x)=,则g′(x)=,因为x>2,所以g′(x)>0,所以g(x)在区间(2,+∞)上单调递增. 所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2. 综上所述,a的取值范围是(-∞,e2]. 解:由f(x)≤,得m≥,问题转化为m≥()min. 令g(x)==2ln x+x+(x>0).则g′(x)=+1-==. 由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以g(x)min=g(1)=4,则m≥4. 故实数m的最小值为4. [例2] 已知函数f(x)=xln x(x>0).若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤成立,求实数m的最小值. 解:首先由条件可得f(1)=ae-a-1≥0,得a≥>0,则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立. 设函数F(x)=(x>0),则F′(x)=-. 当0<x<1时,F′(x)>0;当x>1时,F′(x)<0,所以函数F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以F(x)max=F(1)=,于是≥,解得a≥.故实数a的取值范围是[,+∞). 解:f(x)≥ln x-a+1可化为ex-1-ax+a-1≥0, 令(x)=ex-1-ax+a-1,x∈[1,+∞), 则(x)min≥0, 因为′(x)=ex-1-a, ①当a≤1时,′(x)≥0,所以(x)在[1