第三章 压轴专攻(三) 函数零点问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

压轴专攻(三)　函数零点问题 利用导数研究高次式、分式、指数式、对数式、三角式及绝对值式结构函数的零点个数(或方程根的个数)问题的一般思路:(1)可转化为用导数研究其函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点问题;(2)证明有几个零点时,需要利用导数研究函数的单调性,确定分类讨论的标准,确定函数在每一个区间上的极值(最值)、端点函数值等性质,进而画出函数的大致图象,再利用函数零点存在定理,在每个单调区间内取值证明f(a)·f(b)<0. 课堂突破 提升素养能力 考点一　数形结合法研究函数的零点 [例1] 已知函数f(x)=xex+ex,讨论函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数. 含参数的函数零点个数,可转化为方程解的个数,若能分离参数,可将参数分离出来后,用x表示参数的函数,作出该函数的图象,根据图象特征求参数的取值范围. 考点二　函数性质法研究函数的零点 [例2] 已知函数f(x)=xsin x+cos x,g(x)=x2+4,令h(x)=g(x)-4f(x),试证明h(x)在R上有且仅有三个零点. [例3] (2022·全国乙卷,T21节选)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-x,若f(x)在区间(-1,0),(0,+∞)各恰有一个零点,求a的取值范围. 利用函数性质研究函数的零点,主要是根据函数单调性、奇偶性、最值或极值的符号确定函数零点的个数,此类问题在求解过程中可以借助数形结合的方法确定函数存在零点的条件. 考点三　构造函数法研究函数的零点 涉及函数的零点(方程的根)问题,主要利用导数确定函数的单调区间和极值点,根据函数零点的个数寻找函数在给定区间的极值以及区间端点的函数值与0的关系,从而求得参数的取值范围. (1)当a=2时,求f(x)的单调区间; (2)若曲线y=f(x)与直线y=1有且仅有两个交点,求a的取值范围. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 解:令f(x)=0,得x=-1,当x<-1时,f(x)<0; 当x>-1时,f(x)>0,且f(x)的图象经过点(-2,-),(-1,0),(0,1).又f′(x)=(x+2)ex, 令f′(x)=0,则x=-2,当x∈(-∞,-2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(-2,+∞)时, f′(x)>0,f(x)单调递增. 当x=-2时,f(x)有极小值同时也是最小值f(-2)=-. 当x→-∞时,与一次函数相比,指数函数y=e-x增长更快,从而f(x)=→0; 当x→+∞时,f(x)→+∞,f′(x)→+∞,根据以上信息,画出f(x)的大致图象如图所示. 函数g(x)=f(x)-a(a∈R)的零点的个数为y=f(x)的图象与直线y=a的交点个数. 综上,当a<-时,零点的个数为0;当a=-或a≥0时,零点的个数为1;当-<a<0时,零点的个数为2. [素能演练1] 已知函数f(x)=xln x,g(x)=(-x2+ax-3)ex(a为实数).如果关于x的方程g(x)=2exf(x)在区间[,e]上有两个不等实根,求实数a的取值范围. 解:方程g(x)=2exf(x)可化为-x2+ax-3=2xln x,即a=2ln x+x+. 令(x)=2ln x+x+,x∈[,e],所以′(x)=+1-==, 因为当x∈[,1)时,′(x)<0,当x∈(1,e]时,′(x)>0,所以(x)在[,1)上单调递减,在(1,e]上单调递增. 所以(x)min=(1)=4,又()=3e+-2,(e)=+e+2,且()>(e) , 所以画出y=(x)在[,e]上的图象如图所示.则4<a≤+e+2, 故实数a的取值范围是(4,+e+2]. 证明:h(x)=x2+4-4xsin x-4cos x,因为h(-x)=x2+4-4xsin x-4cos x=h(x),x∈R. 所以h(x)为偶函数.又因为h(0)=0,所以x=0为函数h(x)的零点. 下面讨论h(x)在(0,+∞)上的零点个数. h(x)=x2+4-4xsin x-4cos x=x(x-4sin x)+4(1-cos x). 当x∈[4,+∞)时,x-4sin x>0,4(1-cos x)≥0,所以h(x)>0,所以h(x)无零点; 当x∈(0,4)时,h′(x)=2x-4xcos x=2x(1-2cos x), 当x∈(0,)时,h′(x)<0;当x∈(,4)时,h′(x)>0,所以h(x)在(0,)上单调递减,在(,4)上单调递增,所以h(x)min=h()=+4-sin-4cos=+2-<0,又h(0)=0, 且h(4)=20-16sin 4-4cos 4>0,所以h(x)在(0,)上无零点,在(,4)上有唯一零点. 综上,h(x)在(0,+∞)上有唯一零点,又h(0)=0且h(x)为偶