第三章 压轴专攻(二) 导数与不等式证明-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

压轴专攻(二)　导数与不等式证明 导数是研究函数的工具,利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等,在证明与函数有关的不等式时,我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题,也常构造函数,把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题. 课堂突破 提升素养能力 考点一　作差构造法 [例1] (2022·内蒙古呼和浩特一模)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求证:当a>ln 2-1且x>0时,ex>x2-2ax+1. 证明:f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,则x=ln 2.当x∈(-∞,ln 2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(ln 2)= 2(1-ln 2+a). 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.于是g′(x)=ex-2x+2a=f(x),x∈R. 所以当a>ln 2-1时,g′(x)的最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增. 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1. 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数,利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式. (1)讨论函数f(x)的单调性; 考点二　隔离分析法 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex,不能直接构造函数,把指数与对数分离两边,分别计算它们的最值,借助最值进行证明. [素能演练2] (2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ln x+x,证明:xf(x)<ex. 考点三　适当放缩法 [例4] 已知函数f(x)=aex-1-ln x-1,证明:当a≥1时,f(x)≥0. 证明:令g(x)=ex-x-1,所以g′(x)=ex-1.当x∈(-∞,0)时,g′(x)<0; 当x∈(0,+∞)时,g′(x)>0, 所以g(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,所以g(x)min=g(0)=0, 故ex≥x+1,当且仅当x=0时取等号. 同理可证ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号. 由ex≥x+1⇒ex-1≥x(当且仅当x=1时取等号), 由x-1≥ln x⇒x≥ln x+1(当且仅当x=1时取等号), 所以ex-1≥x≥ln x+1,即ex-1≥ln x+1(当且仅当x=1时取等号), 显然当a≥1时,aex-1≥ln x+1,即f(x)≥0. 在用导数方法证明不等式中,最常见的是ex和ln x与其他代数式结合的问题,对于这类问题,可以考虑先对ex和ln x进行放缩,使问题简化,简化后再构建函数进行证明.常用的放缩公式如下:(1)ex≥1+x,当且仅当x=0时取等号. (2)ln x≤x-1,当且仅当x=1时取等号. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [例2] 已知函数f(x)=1-,g(x)=-++x.证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥. 证明:f(x)+g(x)≥⇔1---+x≥0. 令h(x)=1---+x(x≥1),则h(1)=0,h′(x)=-+++1=++1. 因为x≥1,所以h′(x)=++1>0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增, 所以 h(x)≥h(1)=0,即1---+x≥0. 故当x≥1时,f(x)+g(x)≥. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)解:f′(x)=-=(x>0). 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,若x>a,则f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增; 若0<x<a,则f′(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)min=f(a)=ln a+1.要证f(x)≥,只需证ln a+1≥, 即证ln a+-1≥0. 令函数g(a)=ln a+-1(a>0),则g′(a)=-=,当0<a<1时,g′(a)<0;当a>1时,g′(a)>0, 所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(1)=0. 所以ln a+-1≥0恒成立,所以f(x)≥. (2)当a>0时,证明:f(x)≥. [例3] (2022·内蒙古赤峰三模)已知函数f(x)=ex2-xln x.求证:当x>0时,f(x)<x