第三章 培优课(一) 函数中的构造问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

培优课(一)　函数中的构造问题 函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 类型一　利用f(x)与xn构造函数 [例1] (1)(2022·宁夏银川二中一模)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf′(x)+2f(x)>0,其中f′(x)为f(x)的导函数,则使得 f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) 解析:(1)令g(x)=x2f(x),x∈R,当x>0时, g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)=x[xf′(x)+2f(x)]>0, 即g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)为奇函数,y=x2为偶函数, 可知g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-3)=0, 则g(3)=-g(-3)=0, 当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0,得x>3,当x<0时,f(x)>0⇔g(x)>0,得-3<x<0. 综上可得-3<x<0或x>3.故选B. 答案:(1)B (2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)> xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　 　　　　.  答案:(2)(-1,0)∪(0,1) [对点训练1] 设f(x)是定义在R上的偶函数,且 f(1)=0,当x<0时,有xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为　　　　　　　　　　　　.  答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 类型二　利用f(x)与ex构造函数 [例2] (1)(2023·四川内江模拟预测)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,则下列判断一定正确的是(　　) A.f(1)<f(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) 答案:(1)C 答案:(2)(0,+∞) (1)出现f′(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x); [对点训练2] 若定义在R上的函数f(x)满足 f′(x)-2f(x)>0,f(0)=1,则不等式f(x)>e2x的解集为　　　　　.  答案:(0,+∞) 类型三　利用f(x)与sin x,cos x构造函数 因为y=sin x,y=cos x的导函数存在一定的特殊性,所以也是重点考查的范畴,下面是常考的几种形式. (1)F(x)=f(x)sin x,F′(x)=f′(x)sin x+f(x)cos x. (3)F(x)=f(x)cos x,F′(x)=f′(x)cos x-f(x)sin x. 类型四　同构法构造函数 (2)已知a,b∈(0,e),且a<b,则下列式子正确的是(　　) A.aeb<bea B.aeb>bea C.aln b<bln a D.aln b>bln a 同构法的三种基本模式 (1)乘积型,如aea≤bln b可以同构成aea≤(ln b)eln b,进而构造函数f(x)=xex. (3)和差型,如ea±a>b±ln b,同构后可以构造函数f(x)=ex±x或f(x)=x±ln x. [对点训练4] (1)若存在x,y∈(0,+∞)使得 xln(2ax)+y=xln y,则实数a的最大值为(　　) 答案:(1)B 答案:(2)1 谢谢观赏 解析:(2)构造函数F(x)=,则F′(x)=, 当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0, 可以推出当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为f(x)为偶函数,y=x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增. 根据f(-1)=0,可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得F(x)图象如图所示, 根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1). 若F(x)=xnf(x),则F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)]; 若F(x)=,则F′(x)==.由此得到结论: (1)出现nf(x)+xf′(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x); (2)出现xf′(x)-nf(x)形式,构造函数 F(x)=. 解析:构造函数F(x)=,则F′(x)=,当x<0时,xf′(x)-f(x)>0, 可以推出当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增. 因为f(x)为偶函数,y=x为奇函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在