第三章 第4节 定积分的概念及简单应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第4节　定积分的概念及简单应用 [考试要求] 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 课前预习 巩固主干知识 a与b f(x) x f(x)dx 3.定积分的几何意义 F(b)-F(a) [重要结论] 1.定积分的几何意义与曲边梯形的面积有关,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (2)定积分一定是曲边梯形的面积.(　　) (4)加速度对时间的积分是路程.(　　) √ × × × C C 4.(2022·贵州凯里一中三模)某物体以速度v=3t2-2t+2(t的单位:s,v的单位:m/s) 做变速直线运动,则该物体在0≤t≤2这段时间经过的路程为　　 　m. 答案:8 课堂突破 提升素养能力 考点一　定积分的计算 B 1.运用微积分基本定理求定积分的注意点 (1)对被积函数要先化简,再求积分; (2)若被积函数为分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分. 2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分. 考点二　定积分的几何意义 1.利用定积分求曲边梯形面积的基本步骤 画草图、解方程得积分上、下限,把面积表示为已知函数的定积分(注意:两曲线的上、下位置关系,分段表示的面积之间的关系). 2.根据图形的特征,选择合适的积分变量,利用定积分的性质和几何意义简化计算. 答案:(1)D 考点三　定积分在物理中的应用 [例2] (1)(2022·黑龙江齐齐哈尔三模)弹簧所受的压缩力F(单位:N)与缩短的距离l(单位:m)按胡克定律F=kl计算,如果10 N的力能使得弹簧压缩10 cm,那么把弹簧从平衡位置压缩10 cm(在弹性限度内)要做功(　　) A.0.5 J B.5 J C.10 J D.50 J 定积分在物理中的应用 (2)一物体在力F(x)=3x2-2x+5(力单位:N,位移单位:m)作用下,沿与力F(x)相同的方向由x=5 m直线运动到x=10 m处做的功是(　　) A.925 J B.850 J C.825 J D.800 J 点击进入 课时作业 谢谢观赏 1.定积分的概念 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=·f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=　f(ξ i). 在f(x)dx中, 分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数 叫做被积函数, 叫做积分变量, 叫做被积式. 2.定积分的性质 (1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数). (2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx± f2(x)dx. (3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). 条件 f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)<0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a,b] 上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 4.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx= ,这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便,常把F(b)-F(a)记作 ,即f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). F(x) 2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,有 (1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0. (1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则f(x)dx=f(t)dt.(　　) (3)若f(x)dx<0,那么由曲线y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　) 解析:所围成图形的面积S=-cos xdx=-sin x=-(sin-sin)=2.故选C. 2.(教材改编题)由曲线y=cos x,x=,x=,y=0所围成图形的面积为(　 　) A.2π B.π C.2 D.1 解析:(ex+ax)dx=(ex+x2)=e-.故选C. 3.(2022·贵州铜仁