第三章 第3节 利用导数研究函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 [考试要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 课前预习 巩固主干知识 1.函数的极值 条件 f′(x0)=0 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为 . f(x0)为 . 极值点 x0为 . x0为 . 极大值 极小值 极大值点 极小值点 2.函数的最大(小)值 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在(a,b)内的 ; ②将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 连续不断 极值 端点处的函数值 f(a),f(b) [重要结论] 1.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在 x=x0处有极值的必要不充分 条件. 2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值.(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值.(　　) √ × × √ 2.(教材改编题)函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)(　 　) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 C 解析:设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1,x2,x3,x4. 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)单调递减,则x=x1为极大值点, 同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.故选C. 3.(2022·宁夏银川二中一模)函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　 　) B B 课堂突破 提升素养能力 考点一　利用导数研究函数的极值 [例1] (2023·四川广安模拟预测)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 解析:由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当 -2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时, f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D. 微点1　根据函数图象判断极值 由图象判断函数y=f(x)的极值的关键点 (1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. (2)由y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x) 的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. [素能演练1] (2022·云南曲靖二模)已知函数 f(x) 的定义域为D,其导函数为f′(x),函数 y=sin x·f′(x)(x∈D)的图象如图所示,则 f(x)(　　) A.有极小值f(2),极大值f(π) B.有极大值f(2),极小值f(0) C.有极大值f(2),无极小值 D.有极小值f(2),无极大值 解析:由题图设函数f(x)的定义域D为[a,b],当x∈(0,π)时,sin x>0,当x∈[a,0)或x∈(π,b]时,sin x<0,则由题图可得当x∈[a,2)时, f′(x)≤0,当x∈(2,b]时,f′(x)≥0,故函数 f(x)在[a,2)上单调递减,在(2,b]上单调递增,则由图象可得函数f(x)在定义域D上,先减后增,有极小值f(2),无极大值.故选D. 微点2　已知函数求极值 [例2] 已知函数f(x)=(x-2)(ex-ax