第七章 第5节 直接证明与间接证明、数学归纳法-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第5节　直接证明与间接证明、数学归纳法 [考试要求] 1.了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 课前预习 巩固主干知识 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 文字 语言 因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 充分 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题 (即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. 不成立 原命题成立 3.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取 (n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当 时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 第一个值n0 n=k+1 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)综合法是“由因导果”的证明方法.(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(　　) (4)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证n=1时结论成立.(　　) √ × × × C 解析:凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=3.故选C. C B 解析:x=y=0的否定为x≠0或y≠0,即x,y不都为0.故选B. 课堂突破 提升素养能力 考点一　综合法的应用 [例1] (2022·贵州遵义三模)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: [例1] (2022·贵州遵义三模)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: 1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. 考点二　分析法 1.分析法的证明思路 先从结论入手,由此逐步推出保证此结论成立的充分条件,而当这些判断恰恰都是已证的命题(定义、公理、定理、法则、公式等)或要证命题的已知条件时命题得证. 2.证明较复杂问题时,可以采用两头凑的办法,即通过分析法找出某个与结论等价的中间结论,然后通过综合法证明这个中间结论,从而使原命题得证. [素能演练2] 已知△ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b,c. 考点三　反证法 [例3] 设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; [例3] 设数列{an}是公比为q的等比数列,Sn是它的前n项和. (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? (2)解:当q=1时,Sn=na1,故{Sn}是等差数列;当q≠1时,{Sn}不是等差数列,否则2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,这与公比q≠0矛盾. 综上,当q=1时,数列{Sn}是等差数列;当q≠1时,数列{Sn}不是等差数列. 1.适用范围:当一个命题的结论是以“至多”“至少”“唯一”或以否定形式出现时,宜用反证法来证. 2.关键:在正确的推理下得出矛盾,矛盾可以是与已知条件矛盾,与假设矛盾,与定义、公理、定理矛盾,与事实矛盾等,推导出的矛盾必须是明显的. 3.用反证法证明不等式要把握三点: (1)必须否定结论; (2)必须从否定结论进行推理; (3)推导出的矛盾必须是明显的. [素能演练3] 已知a,b,c,d∈R,且a+b=1,c+d=1,ac+bd>1.求证:a,b,c,d中至少有一个是负数. 证明:假设a,b,c,d都是非负数,因为a+b=c+d=1,所以(a+b)(c+d)=1,即ac+ bd+ad+bc=1, 又ac+bd+ad+bc≥ac+bd,所以ac+b