第七章 第1节 不等式的性质与一元二次不等式-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第七章　不等式、推理与证明 第1节　不等式的性质与一元二次不等式 [考试要求] 1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际 背景. 2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型. 3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 课前预习 巩固主干知识 1.实数大小比较的依据 (1)a>b⇔a-b>0;(2)a=b⇔a-b=0;(3)a<b⇔a-b<0. 2.不等式的性质 (1)对称性:a>b⇔b<a; (2)传递性:a>b,b>c⇒a>c; (3)可加性:a>b⇔a+c b+c;a>b,c>d⇒a+c b+d; (4)可乘性:a>b,c>0⇒ac>bc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒ac bd; (5)可乘方性:a>b>0⇒an bn(n∈N,n≥1); > > > > > 3.三个“二次”间的关系 判别式Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 y=ax2+bx+c (a>0)的图象 ax2+bx+c=0 (a>0)的根 有两相异实根x1,x2(x1<x2) 有两相等实根x1=x2=- 没有实数根 ax2+bx+c>0 (a>0)的解集 . . ax2+bx+c<0 (a>0)的解集 . . . R {x|x>x2或x<x1} {x|x1<x<x2} [重要结论] 1.有关分数的性质 若a>b>0,m>0,则 3.对于不等式ax2+bx+c>0,求解时不要忘记a=0时的情形. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)a>b⇔ac2>bc2.(　　) (2)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.(　　) (3)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0(a<0)的解集为R. (　　) (4)不等式ax2+bx+c≤0在R上恒成立的条件是a<0且Δ=b2-4ac≤0.(　　) × √ × × B 3.(教材改编题)已知b克糖水中有a克糖(b>a>0),若再添上m克水(m>0),糖水就变淡了,则此事实可用一个不等式表示为　　　　　　.  解析:变淡了,意味着含糖量小了,即浓度低了. 4.(2023·云南保山模拟)不等式|5x-x2|<6的解集为　　　　　　　　　　.  答案:{x|-1<x<2或3<x<6} 课堂突破 提升素养能力 考点一　不等式的性质及应用 D 解析:由题意可知b<a<0,所以A,B,C正确,而|a|+|b|=-a-b=|a+b|,故D错误.故选D. B D 答案:(-π,0) 1.比较两个数(式)大小常用的两种方法 2.与命题真假判断相结合问题.解决此类问题除根据不等式的性质求解外,还经常采用特殊值验证的方法. 3.利用不等式性质求某些代数式的取值范围时,在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围,解决的途径是先建立待求整体与已知范围的整体的等量关系,最后通过“一次性”使用不等式的运算求得待求整体的范围. 考点二　一元二次不等式的解法 [例1] (1)不等式0<x2-x-2≤4的解集为　　　　　　　　　　.  答案:(1){x|-2≤x<-1或2<x≤3} 答案:(2){x|x≥3或x≤2} (3)解关于x的不等式ax2-2≥2x-ax(a∈R). (3)解:原不等式可化为ax2+(a-2)x-2≥0. ①当a=0时,原不等式化为x+1≤0,解得x≤-1. 解含参数的一元二次不等式的步骤 (1)二次项中若含有参数应讨论是等于0,小于0,还是大于0,然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式. (2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的关系. (3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式. [素能演练1] (1)(2022·陕西西安一模)关于x的不等式ax-b<0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是(　　) A.(-∞,-1)∪(3,+∞) B.(1,3) C.(-1,3) D.(-∞,1)∪(3,+∞) (1)解析:关于x的不等式ax-b<0,即ax<b的解集是(1,+∞),所以a=b<0, 所以不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)<0,解得-1<x<3.故选C. (2)解不等式12x2-ax>a2(a∈R). 考点三　一元二次不等式恒成立问题 [例2] (1)对于任意实数x,不等式(a-2)x2-2(a-2)x-4<0恒成立,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,2) B.(-∞,2]