第六章 第3节 等比数列及其前n项和-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第3节　等比数列及其前n项和 [考试要求] 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的 问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系. 课前预习 巩固主干知识 1.排列与组合的概念 同一常数 公比 2 (2)等比中项:如果a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项⇒a,G,b成等比数列⇒ . G G2=ab 2.等比数列的有关公式 (1)通项公式:an= . (2)前n项和公式: a1qn-1 3.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am· (n,m∈N*). (2)若m+n=p+q=2k(m,n,p,q,k∈N*),则am·an= = . qn-m ap·aq (4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k, an+3k,…为等比数列,公比为qk. (5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,当 q≠-1 时,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n也成等比数列.当q=-1时,若n为偶数,则不成等比数列,若n为奇数,则成公比为-1的等比数列. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)等比数列公比q是一个常数,它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a,b,c成等比数列的充要条件是b2=ac.(　　) × × × (4)数列{an}为等比数列,则S4,S8-S4,S12-S8成等比数列.(　　) × D A 4.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6等于 (　 　) A.14 B.12 C.6 D.3 D 课堂突破 提升素养能力 考点一　等比数列基本量的运算 1.(2020·全国Ⅱ卷)数列{an}中,a1=2,am+n=aman.若ak+1+ak+2+…+ak+10=215-25,则k等于(　 　) A.2 B.3 C.4 D.5 C 2.(2023·四川成都模拟)设正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2=3,S4=15,则公比q等于(　 　) A.2 B.3 C.4 D.5 A 3.已知数列{an}为等比数列,a2=6,6a1+a3=30,则a4=　　　　.  答案:54或24 等比数列基本量运算的解题策略 (1)方程思想:等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可使问题迎刃而解; 考点二　等比数列的判定与证明 [例1] (2023·贵州瓮安中学模拟预测)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an. (1)证明:数列{an+an+1}为等比数列; [例1] (2023·贵州瓮安中学模拟预测)已知各项都为正数的数列{an}满足an+2=2an+1+3an. 等比数列的三种常用判定方法 (3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则{an}是等比数列. (2)求数列{an}的通项公式; (3)是否存在互不相等的正整数m,s,n,使m,s,n成等差数列,且am-1,as-1,an-1成等比数列?如果存在,请给出证明;如果不存在,请说明理由. 考点三　等比数列的性质及应用 微点1　等比数列项的性质应用 (2)(2020·全国Ⅰ卷)设{an}是等比数列,且 a1+a2+a3=1,a2+a3+a4=2,则a6+a7+a8等于(　) A.12 B.24 C.30 D.32 1.在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质,特别是性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度. 2.在应用相应性质解题时,要注意性质成立的前提条件,有时需要进行适当变形.此外,解题时注意设而不求思想的运用. [素能演练2] 在等比数列{an}中,a5,a7是函数 f(x)=x2-4x+3的两个零点,则a3·a9等于(　　) A.-3 B.3 C.-4 D.4 解析:因为a5,a7是函数f(x)=x2-4x+3的两个零点,所以a5,a7是方程x2-4x+3=0的两个根,所以a5·a7=3,由等比数列的性质可得a3·a9=a5·a7=3.故选B. 微点2　等比数列前n项和的性质应用 [例3] (1)(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若S2=4,S4=6,则S6等于(　) A.7 B.8 C.9 D.10 答案:(1)A (2)(2023·四川成都模拟预测)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项