第九章 压轴专攻(八) 圆锥曲线中的证明、探索性问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

压轴专攻(八)　圆锥曲线中的证明、 探索性问题 圆锥曲线中的证明问题常见的有数量关系方面和位置关系方面的证明,其常用方法有直接法和转化法,有时也会用反证法,探索性问题的求解中要注意:(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法. 课堂突破 提升素养能力 考点一　数量关系的证明 [解题指导] 解决此类问题,一般方法是“设而不求”,通过“设参、用参、消参”的推理及运算,借助几何直观地达到证明的目的. 考点二　位置关系的证明 树立“转化”意识,证明位置关系的关键是将位置关系转化为代数关系. 几何性质 代数实现 对边平行 斜率相等或向量平行 对边相等 横(纵)坐标差相等 对角线互相平分 中点重合 两边垂直 数量积为0 考点三　点、线的存在性问题 [解题指导] 存在性问题的求解方法 (1)解决存在性问题通常采用“肯定项推法”,将不确定性问题明朗化.一般步骤: ①假设满足条件的曲线(或直线、点等)存在,用待定系数法设出; ②列出关于待定系数的方程(组); ③若方程(组)有实数解,则曲线(或直线、点等)存在,否则不存在. (2)反证法与验证法也是求解存在性问题常用的方法. (2)若经过定点Q(6,0)的直线l与曲线T相交于A,B两点,M是线段AB的中点,过点M作x轴的平行线与曲线T相交于点N,是否存在直线l,使得NA⊥NB?若存在,求出直线l的方程,若不存在,请说明理由. 考点四　含参数的存在性问题 [解题指导] [解题指导] (2)设出直线AB的方程→联立椭圆的方程→关于x的一元二次方程→设A(x1,y1),B(x2,y2)→根与系数的关系→点M的坐标→求k1,k2,k3→k1+k2= λk3→求得参数的值. 字母参数值存在性问题的求解方法 求解字母参数值的存在性问题时,通常的方法是首先假设满足条件的参数值存在,然后利用这些条件并结合题目的其他已知条件进行推理与计算,若不出现矛盾,并且得到了相应的参数值,就说明满足条件的参数值存在;若在推理与计算中出现了矛盾,则说明满足条件的参数值不存在,同时推理与计算的过程就是说明理由的过程. 点击进入 课时作业 谢谢观赏 [例1] (2023·山东潍坊模拟预测)已知顶点是坐标原点的抛物线Γ的焦点F在y轴正半轴上,圆心在直线y=x上的圆E与x轴相切,且点E,F关于点M(-1,0)对称. (1)求E和Γ的标准方程; (2)过点M的直线l与圆E交于A,B两点,与Γ交于C,D两点,求证:|CD|>|AB|. (1)解:设Γ的标准方程为x2=2py(p>0),则F(0,).已知点E在直线y=x上,故可设E(2a,a). 因为E,F关于M(-1,0)对称,所以解得所以抛物线Γ的标准方程为x2=4y. 因为圆E与x轴相切,故半径r=|a|=1,所以圆E的标准方程为(x+2)2+(y+1)2=1. (2)证明:由题意知,直线l的斜率存在,设直线l的斜率为k,那么其方程为y=k(x+1)(k≠0). 则E(-2,-1)到直线l的距离d=,因为直线l与E交于A,B两点,所以d2<r2,即<1, 解得k>0, 所以|AB|=2=2. 由消去y并整理,得x2-4kx-4k=0.Δ=16k2+16k>0恒成立, 设C(x1,y1),D(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4k, 那么|CD|=|x1-x2|=·=4·. 所以==>=2.所以|CD|2>2|AB|2,即|CD|>|AB|,得证. [素能演练1] (2022·华南师大附中三模)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(2,),离心率为. (1)求椭圆的方程; (1)解:因为椭圆+=1过点(2,),则+=1,又e==,则c2=. 又a2=b2+c2, 所以联立上述式子,解得a2=8,b2=4,故椭圆的方程为+=1. (2)证明:由题意,可设直线AB:y=k1x+1,CD:y=k2x+1, A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),点M,N的横坐标为xM,xN, 将直线AB的方程代入椭圆+=1,整理得(1+2)x2+4k1x-6=0,而Δ=64+24>0, 所以x1+x2=-,x1x2=-, [素能演练1] (2022·华南师大附中三模)已知椭圆+=1(a>b>0)过点(2,),离心率为. (2)过点P(0,1)作椭圆的两条弦AB,CD(A,C分别位于第一、二象限).若AD,BC与直线y=1分别交于点M,N.求证:|PM|=|PN|. 同理得x3+x4=-,x3x4=-, 因为=(xM-x1,1-y1),=(xM-x4,1-y4),且三点A,M,D共线, 所以(xM-x1)(