2.2 基本不等式课件2-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2 基本不等式 学习目标 1.掌握基本不等式及其推导过程. 2.能用基本不等式解决简单的最值问题. 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题. 4.在猜想论证的过程中，体会数学的严谨性 文字叙述为: 两数的平方和不小于它们积的2倍. 适用范围： a,b∈R 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？本节就来研究这个问题。 新课讲授 新课讲授 通常称不等式(1)为基本不等式，其中，叫做正数a，b的算术平均数，正数a，b的几何平均数。 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 即： 上面通过考察的特殊情形获得了基本不等式.能否直接利用不等式的性质推导出基本不等式呢？下面我们来分析一下. 要证 ，① 只要证 ② 要证②，只要证 ③ 要证③，只要证 ④ 要证④，只要证 ⑤ 显然，⑤成立，当且仅当时，⑤中的等号成立. 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了. 基本不等式的证明 代数法 基本不等式的证明 （利用几何意义证明） 如图，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a，BC=b，过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD，BD。你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 解： =(x +1)+ -1 1 x+1 f(x)=x + 1 x+1 =1, ≥2 (x+1)∙ -1 1 x+1 当且仅当 取“=”号. ∴当 x=0 时, 函数 f(x) 的最小值是 1. x+1= , 即 x=0 时, 1 x+1 解: ∵ x＞-1, ∴x+1>0. ∴ 构造积为定值，利用基本不等式求最值 例2： 例3：已知0<x<1，求x(3-3x)的最大值 解： 0<x<1， 1-x>0. x(3-3x)=3x(1-x)≤ 当且仅当x=1-x，即x= 时取等号. 故x(3-3x)的最大值为 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件. 总结：利用基本不等式求最值时，要注意 一“正” 二“定” 三“相等” 例1 (1)用篱笆围一个面积为的矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少? 解 (1)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， 篱笆的长度为. 由已知得:. 由得: 所以, 当且仅当时,等号成立. 因此,当这个矩形为边长为的正方形时,所用篱笆最短,且最短长度为. (2)用一段长为的篱笆围成一个矩形菜园,当这个矩形的边长为多少时,菜园的面积最大？最大面积是多少? 解 (2)设矩形菜园的相邻两条边的长分别为， 篱笆的长度为. 由已知得:. 由得: 所以, 当且仅当时,等号成立. 因此,当这个矩形为边长为的正方形时,菜园面积最大,且最大面积为. 例2 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为深为如果池底每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 解 设贮水池池底的相邻两条边的边长分别为,水池总造价为. 由题意知: . 因此: 由容积为得:, 所以: 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为深为如果池底每平方米的造价为元,池壁每平方米的造价为元,那么怎样设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 续解 当且仅当时,等号成立. 所以,当贮水池的池底设计成边长为的正方形时总造价最低,最低造价为元. 巩固练习 1.若x>-1，则 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。 【答案】6；2 巩固练习 2.下列结论正确的是（ ） A.若x∈R，且x≠0，则 B.当x>0时， C.当x≥2时， 的最小值为2 D.当0<x≤2时， 无最大值 B 巩固练习 3. 已知t＞0，求 的最小值。 【答案】-2 巩固练习 4.若函数 的最小值，并求出y取得最小值时x的值。 5.已知x、y>0，且满足 ，则xy的最大值是多少？xy取最大值时x、y的值为多少？ 巩固练习 6.已知x、y>0，且 ，则4x+y的最小值是多少？4x+y取最小值时x