第二章 第3节 函数的奇偶性与周期性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

第3节　函数的奇偶性与周期性 [考试要求] 1.结合具体函数,了解奇偶性的概念和几何意义. 2.结合函数的周期性、最小正周期的含义,会判断应用函数的周期性. 课前预习 巩固主干知识 1.函数的奇偶性 项目 偶函数 奇函数 定义 一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函数 都有 ,那么函数f(x)就叫做奇函数 图象 特征 关于 对称 关于 对称 f(-x)=f(x) f(-x)=-f(x) y轴 原点 2.函数的周期性 (1)周期函数:一般地,设函数f(x)的定义域为D,如果存在一个非零常数T,使得对每一个x∈D,都有x+T∈D,且 ,那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个 的正数,那么这个 就叫做f(x)的最小正周期. f(x+T)=f(x) 最小 最小正数 [重要结论] 1.奇偶性的常用结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0. (2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(-x)=f(|x|). (3)奇函数在两个关于原点对称的区间上具有相同的单调性;偶函数在两个关于原点对称的区间上具有相反的单调性. (4)在公共定义域内有:奇±奇=奇,偶±偶=偶,奇×奇=偶,偶×偶=偶,奇× 偶=奇. 2.周期性的常用结论 设函数y=f(x),x∈R,a>0. (1)若f(x+a)=f(x-a),则函数的一个周期为2a. (2)若f(x+a)=-f(x),则函数的一个周期为2a. 3.对称性的三个常用结论 (1)若函数y=f(x+a)是偶函数,即f(a-x)=f(a+x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a-x)=f(x)或f(-x)=f(2a+x),则y=f(x)的图象关于直线x=a对称. (3)若函数y=f(x+b)是奇函数,即f(-x+b)+f(x+b)=0,则函数y=f(x)的图象关于点(b,0)中心对称. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数y=x2,x∈(0,+∞)是偶函数.(　　) (2)偶函数的图象不一定过原点,奇函数的图象一定过原点.(　　) (3)若函数y=f(x+a)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.(　　) (4)函数f(x)在定义域上满足f(x+a)=-f(x),则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数.(　　) × × √ √ 2.(2023·云南曲靖一中模拟预测)已知定义在R上的函数f(x)满足 f(-x)=-f(x),f(3-x)=f(x),则f(2 022)=(　 　) A.-3 B.0 C.1 D.3 B 解析:由于f(x)为奇函数,且f(x)=f(3-x),所以f(3+x)=f(-x)=-f(x), 从而知周期T=6,所以f(2 022)=f(0)=0.故选B. 3.(教材改编题)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=x(1+x),则f(-1)=　　　　.  解析:f(1)=1×2=2,又f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1)=-2. 答案:-2 课堂突破 提升素养能力 考点一　函数的奇偶性 A.f(x-1)-1 B.f(x-1)+1 C.f(x+1)-1 D.f(x+1)+1 答案:(1)B (2)(2023·四川内江模拟预测)设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],若当x∈ [0,5]时,f(x) 的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是　　　　　　　.  解析:(2)由题图可知,当0<x<2时,f(x)>0;当2<x≤5时,f(x)<0,又f(x)是奇函数,所以当-2<x<0时,f(x)<0,当-5≤x<-2时,f(x)>0. 综上,f(x)<0的解集为(-2,0)∪(2,5]. 答案:(2)(-2,0)∪(2,5] 1.判断函数奇偶性的两个必备条件 (1)定义域关于原点对称,这是函数具有奇偶性的必要不充分条件,所以首先考虑定义域. (2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系,在判断奇偶性的运算中,可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数)是否成立. 2.函数奇偶性的应用 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的值,求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式,利用方程思想求参数的值. (2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上