第八章 培优课(四) 立体几何中的综合问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教学课件PPT（旧教材，人教A版）

培优课(四)　立体几何中的综合问题 解决立体几何中的综合问题,通常应注意分析题目中所有的条件,要注意运用建模,函数的思想求解. 类型一　动态问题 [例1] (1)如图,已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,点D是A1B1的中点,E是侧面AA1B1B(含边界)上的动点,且AB1⊥平面C1DE,则直线C1E与侧面AA1B1B所成角的正弦值的最小值为(　　) 答案:(1)C (1)立体几何中的动角范围问题一般是结合线面关系,推断动角的特征或变化关系,结合动角特征探究角的最值或范围. (2)以立体几何为载体的轨迹问题,将立体几何和解析几何巧妙地结合在一起,综合性强.解答这类问题的关键是将空间问题转化为平面问题,一般可以从两方面考虑:一是利用曲线的定义;二是利用解析法求出轨迹方程. (3)对于探究存在问题或动态范围(最值)问题,用定性分析比较难或繁时,可以引进参数,把动态问题划归为静态问题.具体地,可通过构建方程、函数或不等式等进行定量计算,以算促证. 类型二　翻折问题 [例2] (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②. (1)证明:图②中的A,C,G,D四点共面,且平面ABC⊥平面BCGE; (1)证明:由已知,得AD∥BE,CG∥BE, 所以AD∥CG, 故AD,CG确定一个平面, 从而A,C,G,D四点共面. 由已知得AB⊥BE,AB⊥BC, 且BE∩BC=B,BE,BC⊂平面BCGE, 故AB⊥平面BCGE. 又因为AB⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面BCGE. [例2] (2019·全国Ⅲ卷)图①是由矩形ADEB,Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形,其中AB=1,BE=BF=2,∠FBC=60°,将其沿AB,BC折起使得BE与BF重合,连接DG,如图②. (2)求图②中的二面角B-CG-A的大小. 解决翻折问题的策略 (1)解决翻折问题的核心在于画好翻折前后的平面图形与立体图形,抓住两个图形的特征关系,并弄清翻折前后哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化.准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”:①与折痕垂直的线段,翻折前后垂直关系不改变;②与折痕平行的线段,翻折前后平行关系不改变. (2)一般情况下,折痕同一侧的量保持着原有的数量关系和线线关系,抓住这些不变量和不变关系是解决翻折问题的关键.不变的线线关系(尤其是图形中线线平行、线线垂直关系)是研究空间位置关系的重要依据;不变的数量关系是求解几何体的数字特征的基础,如空间几何体的表面积、体积、空间角、距离、长度等关系. (3)根据不变量和不变关系,利用有关定理、公式进行推理和计算,从而使得问题解决,同时注意转化与化归思想在此类问题中的应用. (2)已知点P为线段DC1上一点,且PC1=2PD,求直线BP与平面ABC1所成角的正弦值. 类型三　探究问题 [例3] (2023·贵州贵阳一中模拟预测)如图,在四棱锥S-ABCD中,已知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,△SAD为正三角形,平面SAD⊥平面ABCD. (1)求二面角S-BC-A的大小; [例3] (2023·贵州贵阳一中模拟预测)如图,在四棱锥S-ABCD中,已知四边形ABCD为菱形,∠BAD=60°,△SAD为正三角形,平面SAD⊥平面ABCD. (2)在线段SC(端点S,C除外)上是否存在一点M,使得AM⊥BD?若存在,指出点M的位置;若不存在,请说明理由. 解决探索性问题的策略 探索性问题包括两类:与空间平行、垂直有关的探索性问题;与空间角有关的探索性问题.解决方案有两种: (1)先假设存在,然后利用线面关系的相关定理和性质进行推理论证,寻找假设满足的条件,若满足,则肯定假设,否则不存在; (2)用向量法,该方法容易入手,先假设存在,设出空间点的坐标,转化为代数方程是否有解的问题,若有解且满足题意,则存在,若有解但不满足题意或无解,则不存在. [对点训练3] (2023·四川泸县第一中学模拟预测)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中, AC⊥BC,AC=BC=AA1=2,点P为棱B1C1的中点,点Q为线段A1B上一动点(端点除外). (1)求证:当点Q为线段A1B的中点时,PQ⊥平面A1BC; (1)证明:连接AB1,AC1(图略),因为点Q为线段A1B的中点,所以A,Q,B1三点共线. 因为点P,Q分别为B1C1和A1B的中点, 所以PQ∥AC1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥BC, 易知BC⊥平面ACC1A1,又AC1⊂平面ACC1A1, 所以BC⊥AC1,又AC=AA1,所以四