2.2 基本不等式课件1-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第2章 一元二次函数、方程和不等式 2.2 基本不等式 1 重点 难点 1.了解并掌握基本不等式以及基本不等式的证明过程。 2.会用基本不等式证明不等式，以及求简单的最值问题 学习目标 复习导入 我们知道，乘法公式在代数式的运算中有重要作用.那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题. 前面我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式： 有当且仅当时，等号成立. 特别地，如果，，我们用分别代替上式中的， 可得 (1) 当且仅当时，等号成立. 通常称不等式为基本不等式.其中，叫做正数的算术平均数.叫做正数的几何平均数. 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知讲解 基本不等式 ,有 , 当且仅当时,等号成立. 的几何平均数 的算术平均数 新知讲解 基本不等式的代数解释 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 新知讲解 探究 能否直接利用不等式的性质推导基本不等式吗？ 分析 要证: 只要证: 2 只要证: 2 只要证: 只要证: 显然成立，当且仅当时, 中等号成立. 基本不等式 基本不等式的证明 法一：用分析法证明： 显然，（4）是成立的.当且仅当a=b时，（4）中的等号成立. 要证（2），只要证 a+b- ≥0 （3） 要证（3），只要证 （ - ）2≥0 （4） 只要证 a+b≥ （2） 要证 （1）         基本不等式 基本不等式的证明 法二：作差法 新知探索 在图中，是圆的直径，点是上一点，过点作垂直于的弦，连接你能利用这个图形，得出基本不等式的几何解释吗？ 如图，可证 因而 由于小于或等于圆的半径，用不等式表示为. 显然，当且仅当点与圆心重合，即当时，上述不等式的等号成立. 基本不等式的前提条件 在问题“已知x>0，求 x + 的最小值”的解决过程中不难发现：最小值是一个常数2，并且只能在x=1时取到. 换一句话说：如果x<0,或x>2等等，x + 的最小值就不是2或者不存在. 由此我们归纳，依a+b≥2 求两个数和或积的最值， 必须要满足条件：(1) ； (2) ； (3) . 1.已知x，y都是正数，求证： (１)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值２； (２)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2． 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学建模 问 题 分 析 提示：因为x，y都是正数，所以x＋y ≥2． 无论是“和”定还是“积”定，不等号的另一侧部分将会取得最 值，且都在x＝y时取得等号. 基本不等式从一侧到另一侧，本质上是一种放大或缩小；当一侧为定值时，即为另一侧的一最值；当然，要满足取等的条件. 2.已知a，b都是正数，求证： (１) ≤； (２)≤． 方 法 总结 核心素养 之 逻辑推理 + 数学运算 问 题 分 析 提示：(1) ≥2 (2) )2=≤. 不等式证明过程中，可以先局部使用基本不等式放缩，再整体观察化归； 也可以先两边平方或开方，再用基本不等式. 3.某企业要建造一个容积为18cm3,深为2m的长方体形无盖贮水池，如果池底和池壁每平方米的造价分别为200元和150元，怎样设计该水池可使得总造价最低？最低总造价为多少？ 方 法 总结 核心素养 之 数学抽象 + 数学建模 问 题 分 析 设贮水池池底长和宽分别为xm,ym，水池总造价为z元，则由容积为18m3, 可得2xy=18, 因此xy=9, z=200×9+150(2×2x+2×2y)=1800+600(x+y) ≥1800+600×2=5400 当x=y=3时，等号成立. 目标函数