2.3 一元二次方程根的判别式 课件 2023--2024学年湘教版九年级数学上册

第二章 一元二次方程 2.3 一元二次方程的判别式 复习导入 各种一元二次方程的解法及适用类型 一元二次方程的解法 适用的方程类型 直接开平方法 配方法 公式法 因式分解 x2 + px + q = 0 （p2 - 4q ≥0） （x+m）2＝n（n ≥ 0） ax2 + bx +c = 0（a≠0 ， b2 - 4ac≥0） （x + m）（x + n）＝0 公式法：适用于所有一元二次方程 探究新知 用合适的方法解下列方程： 没有实数根 两个不相等实数根 两个相等实数根 问题一般化 根的个数情况是由什么决定？ 提出问题： 没有实数根 探究新知 我们将一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠ 0）配方后，可以得到： 由于a≠0，所以4a²＞0 ，因此我们不难发现： （1）当，>0时，由于正数有两个平方根，所以原方程的根为 方程有两个不等的实根. 探究新知 （2）当，即0，由于0的平方根是0，所以原方程的根为 此时，原方程有两个相等的实根. （3）当，即0，由于负数没有平方根，所以原方程没有实数根. b²-4ac的正负决定了方程的个数. 我们将一元二次方程ax2+bx+c=0（a ≠ 0）配方后，可以得到： 由于a≠0，所以4a²＞0 ，因此我们不难发现： 知识要点 一元二次方程ax2+bx+c＝0根的情况可由b2-4ac来判定，我们把b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0的根的判别式，通常用“△”来表示，即△= b2-4ac. 一元二次方程根的判别式 根的判别式作用： ①判断方程根的情况； ②由根的情况确定方程中系数的取值范围. 例1不解方程，判别下列方程根的情况： （1）3x2+4x-3=0； （2）4x2=12x-9； 解：∵△=b2-4ac=42-4×3×（-3） =16+36=52＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根. 解：将原方程化为一般形式，得 4x2-12x+9=0. ∵△=（-12）2-4×4×9= 144-144=0， ∴原方程有两个相等的实数根. 要先将方程化为一般形式，才能确定a，b，c的值. 分析：要判断上述方程根的情况，就必须算出“△”，确定它的符号即可． 典例精析 （3）7y=5（y2+1）． 解：将原方程化为一般形式，得 5y2-7y+5=0. ∵△=（-7）2-4×5×5=49-100=-51＜0， ∴原方程没有实数根. 例1不解方程，判别下列方程根的情况： 典例精析 当堂练习 ∴原方程有两个不相等的实数根 1.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (1) x2+3x-1=0 (2) x2-6x+9=0 ∴原方程有两个相等的实数根 解： ∵△=b2-4ac =32-4×1×（-1） =9+4=13＞0 解：∵△=b2-4ac =(-6)2-4×1×9 =36-36=0 当堂练习 1.不解方程，利用判别式判断下列方程根的情况： (3)2y2-3y+4=0 (4) x2+5= 解：方程可化为 x2- +5=0 ∴原方程无实数根 解：∵△=b2-4ac =(-3)2-4×2×4 =9-32=-23<0 ∴b2-4ac=(- )2-415=-12<0 ∴原方程无实数根 1．一元二次方程根的判别式与根的情况的关系为： （1）△＞0 有两个不相等的实数根； （2）△＝0 有两个相等的实数根； （3）△＜0 没有实数根． 2 ．先把已知一元二次方程化为一般形式，为应用判别式创造条件． 一元二次方程的根与判别式 知识要点 典例精析 例2 当k取什么值时，关于x的方程 2x2-（4k+1）x+2k2=1， （1）有两个不相等的实数根； （2）有两个相等实数根； （3）方程没有实数根． 分析：先将原方程化为一般形式，再计算判别式的值，后根据根的情况确定△的符号. 解：原方程可变形为2x2-（4k+1）x+2k2-1=0. ∴△=[-(4k+1)]2-4×2×(2k2-1)=8k+9. （1）∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△>0． ∴8k+9>0． ∴k>－. 典例精析 例2 当k取什么值时，