第十一章 第1节 分类加法计数原理与分步乘法计数原理-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　分类加法计数原理与分步乘法计数原理 [考试要求] 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际问题. 两个计数原理 原理 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤,做第1步有m种不同的方法,做第2步有n种不同的方法 结论 完成这件事共有N=m+n种不同的方法 完成这件事共有 N=m×n种不同的方法 [重要结论] 1.完成一件事有n类不同方案,在第1类方案中有m1种不同的方法,在第2类方案中有m2种不同的方法,…,在第n类方案中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. 2.完成一件事需要分成n个步骤,做第1步有m1种不同的方法,做第2步有m2种不同的方法,…,做第n步有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1×m2×…×mn种不同的方法. 3.两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立,不重不漏 步步相依,缺一不可 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)在分类加法计数原理中,两类不同方案中的方法可以相同.(　　) (2)在分类加法计数原理中,每类方案中的方法都能直接完成这件事.(　　) (3)在分步乘法计数原理中,事情是分两步完成的,其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.(　　) (4)从甲地经丙地到乙地是分步问题.(　　) 答案:(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)某同学逛书店,发现3本喜欢的书,决定至少买其中的一本,则购买方案有(　C　) A.3种 B.6种 C.7种 D.9种 解析:买一本,有3种方案;买两本,有3种方案;买三本,有1种方案,共有方案3+3+1=7(种).故选C. 3.(2023·四川宜宾模拟)4名同学去听同时举行的3个课外知识讲座,每名同学可自由选择听其中的1个讲座,不同的选择的种数为(　D　) A.24 B.48 C.64 D.81 解析:每名同学可以选3个课外知识讲座的其中一个,根据分步乘法计数原理可知不同选法的种数是3×3×3×3=81.故选D. 4.(2023·西藏昌都模拟)有不同的语文书9本,不同的数学书7本,不同的英语书5本,从中选出不属于同一学科的书2本,则不同的选法有(　D　) A.21种 B.315种 C.153种 D.143种 解析:由题意,选一本语文书一本数学书有9×7=63(种)选法,选一本数学书一本英语书有5×7=35(种)选法,选一本语文书一本英语书有9×5=45(种)选法,所以共有63+45+35=143(种)选法.故选D. 考点一　分类加法计数原理的应用 1.(2023·山东潍坊模拟)如图所示,若从正六边形ABCDEF的六个顶点中任取三个顶点构成一个三角形,则直角三角形的个数为(　C　) A.6 B.8 C.12 D.16 解析:由正六边形的性质可得,当以AD为斜边时,可构成4个直角三角形,即△ADB,△ADC,△ADE,△ADF,同理可得当以BE,CF为斜边时,分别也为4个,即直角三角形的个数为12.故选C. 2.(2023·广东梅州期末)用标有1克,5克,10克的砝码各一个,在一架无刻度的天平上称量重物,如果天平两端均可放置砝码,那么可以称出的不同克数(正整数的重物)有(　A　) A.10种 B.11种 C.12种 D.13种 解析:①当天平的一端放1个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有1克,5克,10克; ②当天平的一端放2个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有1+5=6(克),1+10=11(克),5+10=15(克); ③当天平的一端放3个砝码,另一端不放砝码时,可以称量重物的克数有1+5+10=16(克); ④当天平的一端放1个砝码,另一端也放1个砝码时,可以称量重物的克数有5-1=4(克),10-1=9(克),10-5=5(克); ⑤当天平的一端放1个砝码,另一端放2个砝码时,可以称量重物的克数有10+5-1=14(克),10+1-5=6(克),10-(5+1)=4(克);去掉重复的克数后,可以称出不同克数有10种.故选A. 3.椭圆+=1(m>0,n>0)的焦点在x轴上,且m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样的椭圆的个数为(　A　) A.10 B.12 C.20