第十二章 第4节 不等式的证明-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　不等式的证明 [考试要求] 1.通过一些简单的问题了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、反证法与放缩法. 2.会利用基本不等式或柯西不等式进行简单证明. 1.比较法 比较法是证明不等式最基本的方法,可分为作差比较法和作商比较法两种. 名称 作差比较法 作商比较法 理论依据 a>b⇔a-b>0; a<b⇔a-b<0; a=b⇔a-b=0 b>0,>1⇒a>b; b<0,>1⇒a<b 2.综合法与分析法 (1)综合法:从已知条件出发,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论证而得出命题成立. (2)分析法:从要证的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等),从而得出要证的命题成立. 3.反证法与放缩法 (1)反证法:证明命题时先假设要证的命题不成立,以此为出发点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论,以说明假设不正确,从而证明原命题成立,我们把这种证明方法称为反证法. (2)放缩法:证明不等式时,通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,简化不等式,从而达到证明的目的,我们把这种方法称为放缩法. 4.三个正数的算术-几何平均不等式及其推广 (1)定理:如果a,b,c均为正数,那么≥,当且仅当a=b=c时,等号成立.即三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)推广:对于n个正数a1,a2,…,an,它们的算术平均不小于它们的几何平均,即≥,当且仅当a1=a2=…=an时,等号成立. 5.柯西不等式 (1) 二维形式的柯西不等式:若a,b,c,d都是实数,则(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时,等号成立). (2) 柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α·β|≤|α||β|,当且仅当β是零向量,或存在实数k,使α=kβ时,等号成立. (3)二维形式的三角不等式:设x1,y1,x2,y2∈R,那么+≥.当且仅当点P1(x1,y1),P2(x2,y2)与原点O在同一直线上,并且点P1,P2在原点O两旁时,等号成立. (4)一般形式的柯西不等式:设a1,a2,a3,…,an,b1,b2,b3,…,bn是实数,则(++…+)(++…+)≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k,使得ai=kbi(i=1,2,…,n)时,等号成立. 利用柯西不等式证明时,一定要注意等号成立的条件. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)当a≥0,b≥0时,≥.(　　) (2)用反证法证明命题“a,b,c全为0”的假设为“a,b,c全不为0”.(　　) (3)若实数x,y适合不等式xy>1,x+y>-2,则x>0,y>0.(　　) (4)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)√　(4)√ 2.(教材改编题)若a>b>1,x=a+,y=b+,则x与y的大小关系是(　A　) A.x>y B.x<y C.x≥y D.x≤y 解析:x-y=a+-(b+) =a-b+=. 由a>b>1,得ab>1,a-b>0,所以>0,即x-y>0,所以x>y.故选A. 3.(2023·山东济宁模拟)已知a,b∈R+,a+b=2,则+的最小值为(　B　) A.1 B.2 C.4 D.8 解析:因为a,b∈R+,且a+b=2,所以+=(a+b)(+)=(2++)≥(2+2)=2(当且仅当a=b=1时,等号成立),即+的最小值为2.故选B. 4.分析法又称执果索因法,已知x>0,用分析法证明<1+时,索的因是(　C　) A.x2>2 B.x2>4 C.x2>0 D.x2>1 解析:因为x>0,所以要证<1+,只需证()2<(1+)2,即证0<,即证x2>0,因为x>0,所以x2>0成立,故原不等式成立.故选C. 考点一　比较法证明不等式 [例1] 设不等式|2x-1|<1的解集为M. (1)求集合M; (2)若a,b∈M,试比较ab+1与a+b的大小. 解:(1)由|2x-1|<1得-1<2x-1<1, 解得0<x<1.所以M={x|0<x<1}. (2)由(1)和a,b∈M可知0<a<1,0<b<1, 所以(ab+1)-(a+b)=(a-1)(b-1)>0. 故ab+1>a+b. 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法. ①作差比较法证明不等式的一般步骤:作差→变形→判号→结论. ②作差比较法的应用范围:当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时,一般使用作差比较法. (2)作商比较法. ①作商比较法证