第十二章 第1节 坐标系-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　坐标系 [考试要求] 1.了解坐标系的作用,了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况. 2.了解极坐标的基本概念,会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置,能进行极坐标和直角坐标的互化. 3.能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程. 1.平面直角坐标系 设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换:的作用下,点P(x,y)对应到点P′(x′,y′),称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换. 2.极坐标系 (1)极坐标与极坐标系的概念. 在平面内取一个定点O,叫做极点;自极点O引一条射线Ox,叫做极轴,再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ,θ)称为点M的极坐标.ρ称为点M的极径,θ称为点M的极角.一般认为ρ≥0.当ρ>0,极角θ的取值范围是[0,2π)时,平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ,θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定,极点的极坐标中,极径 ρ=0,极角θ可取任意角. (2)极坐标与直角坐标的互化. 设M为平面内任意一点,它的直角坐标是(x,y),极坐标是(ρ,θ).由图可知下面关系式成立: 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式. 3.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 ρ=r(0≤θ<2π) 圆心为(r,0),半径为r的圆 ρ=2rcos θ (-≤θ<) 圆心为(r,),半径为r的圆 ρ=2rsin θ(0≤θ<π) 过极点,倾斜角为α的直线 θ=α(ρ∈R)或θ=π+α(ρ∈R) 过点(a,0),与极轴垂直的直线 ρcos θ=a(-<θ<) 过点(a,),与极轴平行的直线 ρsin θ=a(0<θ<π) [重要结论] 1.点M极坐标的形式不惟一,极坐标(ρ,θ),(ρ,θ+2kπ),(-ρ,π+θ+2kπ)(k∈Z)表示同一点的坐标.当限定ρ≥0,θ∈[0,2π)时,除极点外,点M的极坐标是惟一的. 2.当把点的直角坐标化为极坐标时,求极角θ应注意判断点M所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)若点P的直角坐标为(1,-),则点P的一个极坐标是(2,-).(　　) (2)在极坐标系中,曲线的极坐标方程不是唯一的.(　　) (3)极坐标方程θ=π(ρ≥0)表示的曲线是一条直线.(　　) (4)tan θ=1与θ=表示同一条曲线.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)在极坐标系中,已知点P(2,),则过点P且平行于极轴的直线方程是(　A　) A.ρsin θ=1 B.ρsin θ= C.ρcos θ=1 D.ρcos θ= 解析:先将极坐标化成直角坐标表示,P(2,)转化 为直角坐标为x=ρcos θ=2cos =,y=ρsin θ=2sin =1,即(,1),过点(,1)且平行于x轴的直线为y=1,再化为极坐标为ρsin θ=1.故选A. 3.(2023·贵州安顺模拟)在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是(　B　) A.(1,) B.(1,-) C.(1,0) D.(1,π) 解析:由ρ=-2sin θ,得ρ2=-2ρsin θ,化成直角坐标方程为x2+y2=-2y, 化成标准方程为x2+(y+1)2=1,圆心坐标为(0,-1),其对应的极坐标为(1,-).故选B. 4.(2020·江苏卷改编)在极坐标系中,已知直线l:ρcos θ=2和圆C:ρ=4sin θ(其中ρ≥0,0≤θ<2π),则直线l与圆C的公共点的极坐标为　　　　　　.  解析:由直线l与圆C得,方程组 则sin 2θ=1.因为θ∈[0,2π), 所以2θ=,所以θ=. 所以ρ=4×sin =2.故公共点的极坐标为(2,). 答案:(2,) 考点一　平面直角坐标系中的伸缩变换 [例1] 在平面直角坐标系中,求下列方程所对应的图形经过伸缩变换后的图形. (1)5x+2y=0; (2)x2+y2=1. 解:伸缩变换则 (1)若5x+2y=0,则5(2x′)+2(3y′)=0, 所以5x+2y=0经过伸缩变换后的方程为5x′+3y′=0,为一条直线. (2)若x2+y2=1,则(2x′)2+(3y′)2=1, 则x2+y2=1经过伸缩变换后的方程为4x′2+9y′2=1,为椭圆. 求解伸缩变换后的方程的方法 平面上的曲线y=f(x)在变换的作用下的变换方程的求法是将代入y=f(x),得=f(