第三章 压轴专攻(一) 恒成立问题与有解问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(一)　恒成立问题与有解问题 用导数解决不等式“恒成立”“存在性”问题的常用方法是分离参数,或构造新函数分类讨论,将不等式问题转化为函数的最值问题. 考点一　分离参数法求参数范围 [例1] 已知函数f(x)=(x-2)ex-ax2+ax(a∈R).当x≥2时,f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. 解:由题意,当x≥2时,(x-2)ex-ax2+ax≥0恒成立,等价于(-x)a≤(x-2)ex在[2,+∞)上恒成立. 当x=2时,0·a≤0,所以a∈R. 当x>2时,-x>0,所以a≤=恒成立. 设g(x)=,则g′(x)=,因为x>2,所以g′(x)>0,所以g(x)在区间(2,+∞)上单调递增. 所以g(x)>g(2)=e2,所以a≤e2. 综上所述,a的取值范围是(-∞,e2]. [例2] 已知函数f(x)=xln x(x>0).若存在x∈(0,+∞),使得f(x)≤成立,求实数m的最小值. 解:由f(x)≤,得m≥,问题转化为m≥()min. 令g(x)==2ln x+x+(x>0). 则g′(x)=+1-==. 由g′(x)>0,得x>1;由g′(x)<0,得0<x<1.所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 所以g(x)min=g(1)=4,则m≥4. 故实数m的最小值为4. 一般地,若a>f(x)对x∈D恒成立,则只需a>f(x)max;若a<f(x)对x∈D恒成立,则只需a<f(x)min.若存在x0∈D,使a>f(x0)成立,则只需a>f(x)min;若存在x0∈D,使a<f(x0)成立,则只需a<f(x)max.由此构造不等式,求解参数的取值范围. [素能演练1] (2023·河北石家庄模拟)已知函数f(x)=axex-(a+1)(2x-1).当x>0时,函数f(x)≥0恒成立,求实数a的取值范围. 解:首先由条件可得f(1)=ae-a-1≥0,得a≥>0,则f(x)≥0对任意的x>0恒成立可转化为≥对任意的x>0恒成立. 设函数F(x)=(x>0), 则F′(x)=-. 当0<x<1时,F′(x)>0;当x>1时,F′(x)<0,所以函数F(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 所以F(x)max=F(1)=, 于是≥,解得a≥.故实数a的取值范围是[,+∞). 考点二　等价转化法求参数范围 [例3] 已知函数f(x)=ex-1-ax+ln x(a∈R).若不等式f(x)≥ln x-a+1对一切x∈[1,+∞)恒成立,求实数a的取值范围. 解:f(x)≥ln x-a+1可化为ex-1-ax+a-1≥0, 令(x)=ex-1-ax+a-1,x∈[1,+∞), 则(x)min≥0, 因为′(x)=ex-1-a, ①当a≤1时,′(x)≥0,所以(x)在[1,+∞)上单调递增,所以(x)min=(1)=0≥0恒成立, 所以a≤1符合题意. ②当a>1时,令′(x)=0,得x=1+ln a>1.当x∈[1,1+ln a)时,′(x)<0,当x∈(1+ln a,+∞)时,′(x)>0, 所以(x)在[1,1+ln a)上单调递减,在(1+ln a,+∞)上单调递增. 所以(x)min=(1+ln a)<(1)=0与(x)≥0矛盾.故a>1不符合题意. 综上,实数a的取值范围为(-∞,1]. [例4] (2023·青海西宁模拟)已知函数f(x)=-ax2+ln x(a∈R),若存在x∈(1,+∞),f(x)>-a,求a的取值范围. 解:由f(x)>-a,得a(x2-1)-ln x<0,令g(x)=a(x2-1)-ln x,x∈(1,+∞),g′(x)=, 则当a≤0时,-ln x<0,x2-1>0,则g(x)=a(x2-1)-ln x<0,满足题意; 当a≥时,g′(x)>0, g(x)在(1,+∞)上单调递增,则g(x)>g(1)=0,不满足题意, 当0<a<时,由g′(x)>0,得x∈(,+∞),由g′(x)<0,得x∈(1,), 于是有g(x)在(1,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,g(x)min=g()<g(1)=0, 则当0<a<时,∃x0∈(1,+∞),g(x0)<0. 综上,a的取值范围为(-∞,). 根据不等式恒成立(有解)求参数取值范围的关键是将恒成立(有解)问题转化为最值问题,如f(x)≥a恒成立,则f(x)min≥a,然后利用最值确定参数满足的不等式,解不等式即得参数的取值范围. [素能演练2] 设函数f(x)=(1-x2)ex,当x≥0时,f(x)≤ax+1,求实数a的取值范围. 解:令g(x)=f(x)-ax-1=(1-x2)ex-(ax+1),x∈[0,+∞),可知g(0)=0. g′(x)=(1-x2-2x)ex-a,令h(x)=