第三章 压轴专攻(二) 导数与不等式证明-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

压轴专攻(二)　导数与不等式证明 导数是研究函数的工具,利用导数我们可以方便地求出函数的单调性、极值、最值等,在证明与函数有关的不等式时,我们可以把不等式问题转化为函数的最值问题,也常构造函数,把不等式的证明问题转化为利用导数研究函数的单调性或最值问题. 考点一　作差构造法 [例1] (2022·内蒙古呼和浩特一模)设a为实数,函数f(x)=ex-2x+2a,x∈R,求证:当a>ln 2-1且x>0时, ex>x2-2ax+1. 证明:f′(x)=ex-2,令f′(x)=0,则x=ln 2.当x∈(-∞,ln 2)时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当x∈(ln 2,+∞)时,f′(x)>0,f(x)单调递增.所以f(x)min=f(ln 2)=2(1-ln 2+a). 设g(x)=ex-x2+2ax-1,x∈R.于是g′(x)=ex-2x+2a=f(x),x∈R. 所以当a>ln 2-1时,g′(x)的最小值为g′(ln 2)=2(1-ln 2+a)>0. 于是对任意x∈R,都有g′(x)>0,所以g(x)在R上单调递增. 于是当a>ln 2-1时,对任意x∈(0,+∞),都有g(x)>g(0). 又g(0)=0,从而对任意x∈(0,+∞),g(x)>0.即ex-x2+2ax-1>0,故ex>x2-2ax+1. [例2] 已知函数f(x)=1-,g(x)=-++x.证明:当x≥1时,f(x)+g(x)≥. 证明:f(x)+g(x)≥⇔1---+x≥0. 令h(x)=1---+x(x≥1),则h(1)=0,h′(x)=-+++1=++1. 因为x≥1,所以h′(x)=++1>0,所以h(x)在[1,+∞)上单调递增,所以 h(x)≥h(1)=0, 即1---+x≥0. 故当x≥1时,f(x)+g(x)≥. 待证不等式的两边含有同一个变量时,一般地,可以直接构造“左减右”或“右减左”的函数,利用研究其单调性等相关函数性质证明不等式. [素能演练1] 已知函数f(x)=ln x+,a∈R. (1)讨论函数f(x)的单调性; (2)当a>0时,证明:f(x)≥. (1)解:f′(x)=-=(x>0). 当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增. 当a>0时,若x>a,则f′(x)>0,f(x)在(a,+∞)上单调递增; 若0<x<a,则f′(x)<0,f(x)在(0,a)上单调递减. (2)证明:由(1)知,当a>0时,f(x)min=f(a)=ln a+1.要证f(x)≥,只需证ln a+1≥,即证ln a+-1≥0. 令函数g(a)=ln a+-1(a>0),则g′(a)=-=,当0<a<1时,g′(a)<0;当a>1时,g′(a)>0, 所以g(a)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以g(a)min=g(1)=0. 所以ln a+-1≥0恒成立,所以f(x)≥. 考点二　隔离分析法 [例3] (2022·内蒙古赤峰三模)已知函数f(x)=ex2-xln x.求证:当x>0时,f(x)<xex+. 证明:要证f(x)<xex+,即ex2-xln x<xex+,又x>0,只需证ex-ln x<ex+,即ex-ex<ln x+. 令h(x)=ln x+(x>0),则h′(x)=, 易知h(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,则h(x)min=h()=0,所以ln x+≥0. 再令(x)=ex-ex(x>0),则′(x)=e-ex,易知(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 则(x)max=(1)=0,所以ex-ex≤0.因为h(x)与(x)不同时为0,所以ex-ex<ln x+,故原不等式成立. 若直接求导比较复杂或无从下手时,可将待证式进行变形,构造两个函数,从而找到可以传递的中间量,达到证明的目标.本例中同时含ln x与ex,不能直接构造函数,把指数与对数分离两边,分别计算它们的最值,借助最值进行证明. [素能演练2] (2023·湖北武汉模拟)已知函数f(x)=ln x+x,证明:xf(x)<ex. 证明:要证xf(x)<ex ,即证x2+xln x<ex, 又x>0,即证1+<.令函数g(x)=1+(x>0),则g′(x)=. 令g′(x)>0,得x∈(0,e);令g′(x)<0,得x∈(e,+∞). 所以g(x)在(0,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减,所以g(x)max=g(e)=1+. 令函数h(x)=(x>0),则h′(x)=.当x∈(0,2)时,h′(x)<0;当x∈(2,+∞)时,h′(x)>0. 所以h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以h(x)min=h(2)=. 因为-(1+)>0,所以h(x)mi