第三章 培优课(一) 函数中的构造问题-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

培优课(一)　函数中的构造问题 　　函数与方程思想、转化与化归思想是高中数学思想中比较重要的两大思想,而构造函数的解题思路恰好是这两种思想的具体体现. 类型一　利用f(x)与xn构造函数 [例1] (1)(2022·宁夏银川二中一模)设f(x)为定义在R上的奇函数,f(-3)=0.当x>0时,xf′(x)+2f(x)>0,其中f′(x)为f(x)的导函数,则使得 f(x)>0成立的x的取值范围是(　　) A.(-∞,-3)∪(0,3) B.(-3,0)∪(3,+∞) C.(-3,0)∪(0,3) D.(-∞,-3)∪(3,+∞) (2)已知偶函数f(x)(x≠0)的导函数为f′(x),且满足f(-1)=0,当x>0时,2f(x)>xf′(x),则使得f(x)>0成立的x的取值范围是　　　　　　　　.  解析:(1)令g(x)=x2f(x),x∈R,当x>0时,g′(x)=x2f′(x)+2xf(x)=x[xf′(x)+2f(x)]>0, 即g(x)在(0,+∞)上单调递增,因为f(x)为奇函数,y=x2为偶函数, 可知g(x)是奇函数,g(x)在(-∞,0)上单调递增,又f(-3)=0,则g(3)=-g(-3)=0, 当x>0时,f(x)>0⇔g(x)>0,得x>3,当x<0时,f(x)>0⇔g(x)>0,得-3<x<0. 综上可得-3<x<0或x>3.故选B. (2)构造函数F(x)=,则F′(x)=,当x>0时,xf′(x)-2f(x)<0, 可以推出当x>0时,F′(x)<0,F(x)在(0,+∞)上单调递减. 因为f(x)为偶函数,y=x2为偶函数,所以F(x)为偶函数,所以F(x)在(-∞,0)上单调递增. 根据f(-1)=0,可得F(-1)=0,根据函数的单调性、奇偶性可得F(x)图象如图所示, 根据图象可知f(x)>0的解集为(-1,0)∪(0,1). 答案:(1)B　(2)(-1,0)∪(0,1) 若F(x)=xnf(x),则F′(x)=nxn-1f(x)+xnf′(x)=xn-1[nf(x)+xf′(x)]; 若F(x)=,则F′(x)==.由此得到结论: (1)出现nf(x)+xf′(x)形式,构造函数F(x)=xnf(x); (2)出现xf′(x)-nf(x)形式,构造函数 F(x)=. [对点训练1] 设f(x)是定义在R上的偶函数,且 f(1)=0,当x<0时,有xf′(x)-f(x)>0恒成立,则不等式f(x)>0的解集为　　　　　　　　　　　　.  解析:构造函数F(x)=,则F′(x)=,当x<0时,xf′(x)-f(x)>0, 可以推出当x<0时,F′(x)>0,F(x)在(-∞,0)上单调递增. 因为f(x)为偶函数,y=x为奇函数,所以F(x)为奇函数, 所以F(x)在(0,+∞)上也单调递增.根据 f(1)=0可得F(1)=0, 根据函数的单调性、奇偶性可得F(x)图象如图所示,根据图象可知f(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 类型二　利用f(x)与ex构造函数 [例2] (1)(2023·四川内江模拟预测)已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),若f(x)满足(x-1)[f′(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,则下列判断一定正确的是(　　) A.f(1)<f(0) B.f(2)>e2f(0) C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0) (2)若定义在R上的函数f(x)满足f′(x)+2f(x)>0,且f(0)=1,则不等式f(x)>的解集为　　　　.  解析:(1)构造函数F(x)=,则F′(x)=,f(x)满足(x-1)[f′(x)-f(x)]>0, 则当x>1时F′(x)>0,F(x)在(1,+∞)上单调递增;当x<1时F′(x)<0,F(x)在(-∞,1)上单调递减. 又由f(2-x)=f(x)e2-2x⇔F(2-x)=F(x)⇒F(x) 的图象关于直线x=1对称,从而F(3)>F(0),即>,所以f(3)>e3f(0).故选C. (2)构造F(x)=f(x)·e2x,所以F′(x)=e2x[f′(x)+2f(x)]>0, 所以F(x)在R上单调递增,且F(0)=f(0)·e0=1,不等式f(x)>可转化为f(x)e2x>1,即 F(x)>F(0),所以x>0. 答案:(1)C　(2)(0,+∞) 若F(x)=enxf(x),则F′(x)=n·enxf(x)+enxf′(x)=enx[f′(x)+nf(x)]; 若F(x)=,则F′(x)==.由此得到结论: (1)出现f′(x)+nf(x)形式,构造函数F(x)=enxf(x); (2)出现f′(x)-nf(x)形式,构造函数 F