第三章 第4节 定积分的概念及简单应用-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第4节　定积分的概念及简单应用 [考试要求] 了解定积分的实际背景,了解定积分的基本思想,了解定积分的概念. 1.定积分的概念 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,用分点a=x0<x1<…<xi-1<xi<…<xn=b将区间[a,b]等分成n个小区间,在每个小区间[xi-1,xi]上任取一点ξi(i=1,2,…,n),作和式f(ξi)Δx=·f(ξi),当n→∞时,上述和式无限接近某个常数,这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分,记作f(x)dx,即f(x)dx=　f(ξ i). 在f(x)dx中,a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间[a,b]叫做积分区间,函数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变量,f(x)dx叫做被积式. 2.定积分的性质 (1)kf(x)dx=kf(x)dx(k为常数). (2)[f1(x)±f2(x)]dx=f1(x)dx± f2(x)dx. (3)f(x)dx=f(x)dx+f(x)dx(其中a<c<b). 3.定积分的几何意义 条件 f(x)dx的几何意义 f(x)≥0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积 f(x)<0 表示由直线x=a,x=b,y=0及曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数 f(x)在[a,b] 上有正有负 表示位于x轴上方的曲边梯形的面积减去位于x轴下方的曲边梯形的面积 4.微积分基本定理 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么f(x)dx=F(b)-F(a),这个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿-莱布尼茨公式. 为了方便,常把F(b)-F(a)记作F(x),即 f(x)dx=F(x)=F(b)-F(a). [重要结论] 1.定积分的几何意义与曲边梯形的面积有关,但要注意:面积非负,而定积分的结果可以为负. 2.设函数f(x)在闭区间[-a,a]上连续,有 (1)若f(x)是偶函数,则f(x)dx=2f(x)dx; (2)若f(x)是奇函数,则f(x)dx=0. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)设函数y=f(x)在区间[a,b]上连续,则 f(x)dx=f(t)dt.(　　) (2)定积分一定是曲边梯形的面积.(　　) (3)若f(x)dx<0,那么由曲线y=f(x),x=a,x=b以及x轴所围成的图形一定在x轴下方.(　　) (4)加速度对时间的积分是路程.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)由曲线y=cos x,x=,x=,y=0所围成图形的面积为(　C　) A.2π B.π C.2 D.1 解析:所围成图形的面积S=-cos xdx=-sin x=-(sin-sin)=2.故选C. 3.(2022·贵州铜仁第一中学二模)(ex+ax)dx等于(　C　) A.1 B.e-+2a C.e- D.2e+a2 解析:(ex+ax)dx=(ex+x2)=e-.故选C. 4.(2022·贵州凯里一中三模)某物体以速度v=3t2-2t+2(t的单位:s,v的单位:m/s)做变速直线运动,则该物体在0≤t≤2这段时间经过的路程为　　　　m.  解析:因为物体的速度为v=3t2-2t+2,所以该物体在0≤t≤2这段时间经过的路程为 s=v(t)dt=(3t2-2t+2)dt=(t3-t2+2t)=8. 答案:8 考点一　定积分的计算 1.已知xdx=2(a>0),则a的值为(　B　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:xdx=x2=a2-0=2,即a2=4,解得a=2或a=-2(舍去).故选B. 2.(1-2sin2x)dx=　　　　.  解析:(1-2sin2x)dx=cos 2xdx=sin 2x=(sin-sin 0)=. 答案: 3.(2023·黑龙江勃利县高级中学模拟)|x2-1|dx=　　　　.  解析:因为f(x)=|x2-1|= 所以|x2-1|dx=(1-x2)dx+(x2-1)dx=(x-x3)+(x3-x)=+(×33-3)-(-1)=. 答案: 1.运用微积分基本定理求定积分的注意点 (1)对被积函数要先化简,再求积分; (2)若被积函数为分段函数,依据定积分“对区间的可加性”,先分段积分再求和; (3)对于含有绝对值符号的被积函数,要先去掉绝对值符号再求积分. 2.根据定积分的几何意义,可利用面积求定积分. 考点二　定积分的几何意义 [例1] (1)(2023·四川树德中学模拟)(+cos x)dx=(　　) A. B.+2 C. D.+2 (2)(2022·新疆克拉玛依三模)如图,在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为