第三章 第3节 利用导数研究函数的极值、最值-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第3节　利用导数研究函数的极值、最值 [考试要求] 1.借助函数图象,了解函数在某点处取得极值的必要条件和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值. 1.函数的极值 条件 f′(x0)=0 x0附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0 x0附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0 图象 极值 f(x0)为极大值 f(x0)为极小值 极值点 x0为极大值点 x0为极小值点 2.函数的最大(小)值 (1)函数y=f(x)在区间[a,b]上有最值的条件: 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤: ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. [重要结论] 1.对于可导函数f(x),f′(x0)=0是函数f(x)在 x=x0处有极值的必要不充分条件. 2.若函数f(x)在[a,b]上是单调函数,则f(x)一定在区间端点处取得最值. 3.若函数f(x)在开区间(a,b)内只有一个极值点,则相应的极值点一定是函数的最值点. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)函数的极大值不一定比极小值大.(　　) (2)对可导函数f(x),f′(x0)=0是x0点为极值点的充要条件.(　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值.(　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值.(　　) 答案:(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)函数f(x)的定义域为R,导函数f′(x)的图象如图所示,则函数f(x)(　C　) A.无极大值点、有四个极小值点 B.有三个极大值点、一个极小值点 C.有两个极大值点、两个极小值点 D.有四个极大值点、无极小值点 解析:设f′(x)的图象与x轴的4个交点从左至右依次为x1,x2,x3,x4. 当x<x1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x1<x<x2时,f′(x)<0,f(x)单调递减,则x=x1为极大值点, 同理,x=x3为极大值点,x=x2,x=x4为极小值点.故选C. 3.(2022·宁夏银川二中一模)函数f(x)=x3-ax2+2x-1有极值,则实数a的取值范围是(　B　) A.(-∞,-]∪[,+∞) B.(-∞,-)∪(,+∞) C.(-,) D.[-,] 解析:f′(x)=3x2-2ax+2,由题意知f′(x)有变号零点,所以3x2-2ax+2=0的Δ=(-2a)2-4×3×2>0,解得a>或a<-.故选B. 4.(2022·全国甲卷)当x=1时,函数f(x)=aln x+取得最大值-2,则f′(2)等于(　B　) A.-1 B.- C. D.1 解析:由题意知,f(1)=aln 1+b=b=-2.求导得f′(x)=-(x>0),因为f(x)的定义域为(0,+∞),所以易得f′(1)=a-b=0,所以a=-2,所以f′(2)=-=-.故选B. 考点一　利用导数研究函数的极值 微点1　根据函数图象判断极值 [例1] (2023·四川广安模拟预测)设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 解析:由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当 -2<x<1时,f′(x)<0;当1<x<2时,f′(x)<0;当x>2时,f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.故选D. 由图象判断函数y=f(x)的极值的关键点 (1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点. (2)由y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x) 的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点. [素能演练1] (2022·云南曲靖二模)已知函数 f(x) 的定义域为D,其导函数为f′(x),函数 y=sin x·f′(x)(x∈D)的图象如图所示,则 f(x)(　　) A.有极小值f(2),极大值f(π) B.有极大值f(2),极小值f(0) C.有极大值f(2),无极小值 D.有极小值f(2),无极大值 解析:由题图设函数f(x)的定义域D为[a,b],当x∈(0,π)时,sin x>0,当x∈[a,0