第三章 第2节 利用导数研究函数的单调性-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第2节　利用导数研究函数的单调性 [考试要求] 1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系. 2.能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次). 1.函数的单调性与导数的关系 函数y=f(x)在某个区间内可导,则: (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增; (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减; (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数. 2.函数值的变化快慢与导数的关系 一般地,如果一个函数在某一范围内变化得较快,这时,函数的图象就比较陡峭(向上或向下);反之,函数在这个范围内变化得较慢,函数的图象就比较平缓. [重要结论] 1.若函数f(x)在(a,b)上单调递增,则当x∈(a,b)时,f′(x)≥0恒成立;若函数f(x)在(a,b)上单调递减,则当 x∈(a,b)时,f′(x)≤0恒成立. 2.若函数f(x)在(a,b)上存在单调递增区间,则当 x∈(a,b)时,f′(x)>0有解;若函数f(x)在(a,b)上存在单调递减区间,则当x∈(a,b)时,f′(x)<0有解. 3.“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上单调递增(减)”的充分不必要条件. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)如果函数f(x)在某个区间内恒有f′(x)=0,则f(x)在此区间内没有单调性.(　　) (2)在区间(a,b)内f′(x)≤0且f′(x)=0的根有有限个,则f(x)在(a,b)内单调递减.(　　) (3)若函数f(x)在定义域上都有f′(x)>0,则 f(x)在定义域上一定单调递增.(　　) (4)函数f(x)=x-sin x在R上是增函数.(　　) 答案:(1)√　(2)√　(3)×　(4)√ 2.(教材改编题)如图是函数y=f(x)的导函数 f′(x) 的图象,则下列判断正确的是(　C　) A.在区间(-3,1)上f(x)是增函数 B.在区间(1,3)上f(x)是减函数 C.在区间(4,5)上f(x)是增函数 D.在区间(3,5)上f(x)是增函数 解析:由题图可知,当x∈(4,5)时,f′(x)>0,故f(x)在(4,5)上是增函数.故选C. 3.(2023·四川广安二中模拟预测)函数f(x)=x2-2ln x的单调递减区间是(　A　) A.(0,1) B.(1,+∞) C.(-∞,-1) D.(-1,0)∪(0,1) 解析:由题意知f′(x)=2x-=(x>0),由f′(x)<0,得0<x<1.故选A. 4.(2023·黑龙江哈尔滨模拟)已知函数 f(x)=-x3+ax2-x-1在R上是单调函数,则实数a的取值范围是　　　　　.  解析:f′(x)=-3x2+2ax-1,因为函数在R上是单调函数,故只能满足f′(x)=-3x2+2ax-1≤0在R上恒成立,即Δ≤0,Δ=4a2-12≤0,解得a∈[-,]. 答案:[-,] 考点一　不含参函数的单调性 1.已知函数f(x)=x2+2cos x,若f′(x)是f(x)的导函数,则函数f′(x)的图象大致是(　A　) 解析:设g(x)=f′(x)=2x-2sin x,则g′(x)=2-2cos x≥0,所以函数f′(x)在R上单调递增.故选A. 2.(2022·北京交通大学附属中学模拟)函数f(x)=的单调递减区间为　　　　　　　　　.  解析:函数的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞), f′(x)==, 令f′(x)<0,得-1<x<1或1<x<3,所以函数 f(x)=的单调递减区间为(-1,1),(1,3). 答案:(-1,1),(1,3) 3.函数f(x)=excos x的单调递增区间为　　　　　　　　　　　　.  解析:f′(x)=ex(cos x-sin x),令f′(x)>0得cos x>sin x,所以2kπ-π<x<2kπ+,k∈Z, 即函数f(x)的单调递增区间为(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z). 答案:(2kπ-π,2kπ+)(k∈Z) 1.确定函数单调区间的步骤 (1)确定函数f(x)的定义域. (2)求f′(x). (3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间. (4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间. 2.利用导数求函数单调区间时的注意点 (1)f′(x)=0无解时,可根据f′(x)的结构特征确定f′(x)的符号. (2)不能遗忘求函数的定义域. (3)所求函数的单调区间不止一个时,这些区间之间不能用“∪”及“或”连接,只能用“,”或者“和”隔开. 考点二　讨论含参函数的单调性 微点1　三次函数型 [例1] 求函数f(x)=x3+ax2-2ax+1的