第三章 第1节 变化率与导数、导数的计算-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第1节　变化率与导数、导数的计算 [考试要求] 1.了解导数概念的实际背景,理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y=c(c为常数),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的导数. 3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单复合函数的导数. 1.函数y=f(x)在x=x0处的导数 (1)定义:一般地,函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是=,我们称它为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′,即f′(x0)== . (2)几何意义:函数f(x)在x=x0处的导数f′(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0). 2.函数y=f(x)的导函数 从求函数f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0)是一个确定的数.当x变化时,f′(x)便是x的一个函数,我们称它为f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y′,即f′(x)=y′=. 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=xα(α∈Q*) f′(x)=αxα-1 f(x)=sin x f′(x)=cos x f(x)=cos x f′(x)=-sin x f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axln a f(x)=ln x f′(x)= f(x)=logax (a>0,a≠1) f′(x)= 4.导数运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有: (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′. [重要结论] 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.熟记以下结论: (1)()′=-; (2)()′=; (3)[]′=-(f(x)≠0); (4)[af(x)±bg(x)]′=af′(x)±bg′(x). 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)f′(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率.(　　) (2)求f′(x0)时,可先求f(x0),再求f′(x0).(　　) (3)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.(　　) (4)函数f(x)=sin(-x)的导数是f′(x)=cos x.(　　) 答案:(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 2.(教材改编题)已知函数f(x)的图象如图,f′(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的是(　C　) A.0<f′(2)<f′(3)<f(3)-f(2) B.0<f′(3)<f′(2)<f(3)-f(2) C.0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2) D.0<f(3)-f(2)<f′(2)<f′(3) 解析:由导数的几何意义知,0<f′(3)<f(3)-f(2)<f′(2).故选C. 3.(2023·新疆石河子一中模拟预测)已知函数 f(x)=为奇函数,则曲线f(x)在x=2处的切线斜率等于(　B　) A.6 B.-2 C.-6 D.-8 解析:f(x)为奇函数,则f(-x)=-f(x).取x>0,则-x<0,得x2-2x=-(-x2+ax),则a=2. 当x>0时,f′(x)=-2x+2,所以f′(2)=-2.故选B. 4.(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y=ln|x|过坐标原点的两条切线的方程为　,  　　　　　　　　　.  解析:先求当x>0时,曲线y=ln x过原点的切线方程,设切点为(x0,y0),则由y′=, 得切线斜率为,又切线的斜率为, 所以=,解得y0=1, 代入y=ln x,得x0=e, 所以切线斜率为,切线方程为y=x. 同理可求得当x<0时的切线方程为y=-x. 综上可知,两条切线方程为y=x,y=-x. 答案:y=x　y=-x 考点一　导数的运算 1.下列求导运算正确的是(　D　) A.()′=x B.(x2ex)′=2x+ex C.(xcos x)′=-sin x D.(x-)′=1+ 解析:对于A,()′=-·(ln x)′=-;对于B,(x2ex)′=(x2+2x)ex;对于C,(xcos x)′=cos x-xsin x;对于D,(x-)′=1+.故选D. 2.(2020·全国Ⅲ卷)设函数f(x)=.若 f′(1)=,则a=　　　　　　.  解析:由于f′