第七章 第5节 直接证明与间接证明、数学归纳法-【导与练】2024高考数学一轮复习高中总复习第1轮教师用书word（旧教材，人教A版）

第5节　直接证明与间接证明、数学归纳法 [考试要求] 1.了解直接证明的两种基本方法:综合法和分析法;了解综合法和分析法的思考过程和特点. 2.了解反证法的思考过程和特点. 3.了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 1.直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 文字 语言 因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证…… 即证…… 2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题不成立(即在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:①反设——假设命题的结论不成立;②归谬——根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;③结论——断言假设不成立,从而肯定原命题的结论成立. 3.数学归纳法 一般地,证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行: (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立; (2)(归纳递推)假设n=k(k≥n0,k∈N*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立. 只要完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立. 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)综合法是“由因导果”的证明方法.(　　) (2)分析法是从要证明的结论出发,逐步寻找使结论成立的充要条件.(　　) (3)用反证法证明结论“a>b”时,应假设“a<b”.(　　) (4)用数学归纳法证明问题时,第一步是验证n=1时结论成立.(　　) 答案:(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 2.(教材改编题)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n-3)条时,第一步检验n等于(　C　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:凸n边形边数最小时是三角形,故第一步检验n=3.故选C. 3.(2023·甘肃模拟预测)欲证-2<-,只需证(　C　) A.(-2)2<(-)2 B.(-)2<(2-)2 C.(+)2<(+2)2 D.(-2-)2<(-)2 解析:要证-2<-,由于不等式两边均为负数,故需变形为证明+<+2,此时不等式两边都是正数,所以只需证<.故选C. 4.(2023·宁夏青铜峡模拟)利用反证法证明:若+=0,则x=y=0.应假设为(　B　) A.x,y都不为0 B.x,y不都为0 C.x,y都不为0,且x≠y D.x,y至少有一个为0 解析:x=y=0的否定为x≠0或y≠0,即x,y不都为0.故选B. 考点一　综合法的应用 [例1] (2022·贵州遵义三模)设a,b,c均为正数,且a+b+c=1,证明: (1)ab+bc+ca≤; (2)++≥1. 证明:(1)由a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,c2+a2≥2ca,得a2+b2+c2≥ab+bc+ca. 由题设得(a+b+c)2=1,即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1,所以3(ab+bc+ca)≤1,即ab+bc+ca≤, 当且仅当“a=b=c”时等号成立. (2)因为+b≥2a,+c≥2b,+a≥2c,当且仅当“a2=b2=c2”时等号成立, 故+++(a+b+c)≥2(a+b+c),则++≥a+b+c.所以++≥1. 1.综合法是“由因导果”的证明方法,它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法,即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发,经过一系列中间推理,最后导出所要求证结论的真实性. 2.综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. [素能演练1] 若x,y,z是互不相等的实数,且x+=y+=z+,求证:x2y2z2=1. 证明:由已知x+=y+=z+,因为x+=y+,所以x-y=-=,所以 yz=,① 同理得出zx=,② xy=.③ ①×②×③得x2y2z2=1.从而原题得证. 考点二　分析法 [例2] (2023·黑龙江大庆实验中学模拟预测)已知a>0,证明:- ≥a+-2. 证明:要证-≥a+-2,只需证≥(a+)-(2-). 因为a>0,所以(a+)-(2-)>0,所以只需证()2≥[(a+)-(2-)] 2, 即2(2-)(a+)≥8-4,只需证a+≥2.因为a>0,a+≥2显然成立(当且仅当a==1时等号成立),所以要证的不等式成立. 1.分析法的证明思路 先从结论入手,由此逐步推出保证此结